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Theorem lgamgulmlem1 27152
Description: Lemma for lgamgulm 27158. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, R    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)

Proof of Theorem lgamgulmlem1
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.u . 2  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
2 simp2 989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
3 lgamgulm.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
433ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  R  e.  NN )
54nnred 10441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  R  e.  RR )
64nngt0d 10469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  <  R
)
75, 6recgt0d 10371 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  <  (
1  /  R ) )
8 0re 9490 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  e.  RR )
104nnrecred 10471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( 1  /  R )  e.  RR )
119, 10ltnled 9625 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( 0  < 
( 1  /  R
)  <->  -.  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
127, 11mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  -.  ( 1  /  R )  <_ 
0 )
13 oveq2 6201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  -u x  ->  (
x  +  k )  =  ( x  +  -u x ) )
1413fveq2d 5796 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  -u x  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
x  +  -u x
) ) )
1514breq2d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  -u x  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
1615rspccv 3169 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
18173ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
192negidd 9813 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( x  +  -u x )  =  0 )
2019fveq2d 5796 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  -u x
) )  =  ( abs `  0 ) )
21 abs0 12885 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
2220, 21syl6eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  -u x
) )  =  0 )
2322breq2d 4405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
2418, 23sylibd 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
2512, 24mtod 177 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  -.  -u x  e. 
NN0 )
26 eldmgm 27145 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  -.  -u x  e.  NN0 ) )
272, 25, 26sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  x  e.  ( CC  \  ( ZZ 
\  NN ) ) )
2827rabssdv 3533 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) } 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) )
291, 28syl5eqss 3501 1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799    \ cdif 3426    C_ wss 3429   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    < clt 9522    <_ cle 9523   -ucneg 9700    / cdiv 10097   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   abscabs 12834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  27153  lgamgulmlem3  27154  lgamgulmlem5  27156  lgamgulmlem6  27157  lgamgulm2  27159  lgambdd  27160
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