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Theorem lgamgulmlem1 26967
Description: Lemma for lgamgulm 26973. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, R    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)

Proof of Theorem lgamgulmlem1
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.u . 2  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
2 simp2 989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
3 lgamgulm.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
433ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  R  e.  NN )
54nnred 10329 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  R  e.  RR )
64nngt0d 10357 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  <  R
)
75, 6recgt0d 10259 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  <  (
1  /  R ) )
8 0re 9378 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  e.  RR )
104nnrecred 10359 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( 1  /  R )  e.  RR )
119, 10ltnled 9513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( 0  < 
( 1  /  R
)  <->  -.  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
127, 11mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  -.  ( 1  /  R )  <_ 
0 )
13 oveq2 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  -u x  ->  (
x  +  k )  =  ( x  +  -u x ) )
1413fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  -u x  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
x  +  -u x
) ) )
1514breq2d 4299 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  -u x  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
1615rspccv 3065 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
18173ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
192negidd 9701 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( x  +  -u x )  =  0 )
2019fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  -u x
) )  =  ( abs `  0 ) )
21 abs0 12766 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
2220, 21syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  -u x
) )  =  0 )
2322breq2d 4299 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
2418, 23sylibd 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
2512, 24mtod 177 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  -.  -u x  e. 
NN0 )
26 eldmgm 26960 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  -.  -u x  e.  NN0 ) )
272, 25, 26sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  x  e.  ( CC  \  ( ZZ 
\  NN ) ) )
2827rabssdv 3427 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) } 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) )
291, 28syl5eqss 3395 1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714    \ cdif 3320    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411   -ucneg 9588    / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   abscabs 12715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem3  26969  lgamgulmlem5  26971  lgamgulmlem6  26972  lgamgulm2  26974  lgambdd  26975
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