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Theorem lgamgulmlem1 28444
Description: Lemma for lgamgulm 28450. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, R    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)

Proof of Theorem lgamgulmlem1
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.u . 2  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
2 simp2 998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
3 lgamgulm.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
433ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  R  e.  NN )
54nnred 10557 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  R  e.  RR )
64nngt0d 10585 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  <  R
)
75, 6recgt0d 10486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  <  (
1  /  R ) )
8 0red 9600 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  e.  RR )
94nnrecred 10587 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( 1  /  R )  e.  RR )
108, 9ltnled 9735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( 0  < 
( 1  /  R
)  <->  -.  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
117, 10mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  -.  ( 1  /  R )  <_ 
0 )
12 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  -u x  ->  (
x  +  k )  =  ( x  +  -u x ) )
1312fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  -u x  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
x  +  -u x
) ) )
1413breq2d 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  -u x  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
1514rspccv 3193 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
17163ad2ant3 1020 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
182negidd 9926 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( x  +  -u x )  =  0 )
1918fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  -u x
) )  =  ( abs `  0 ) )
20 abs0 13097 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
2119, 20syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  -u x
) )  =  0 )
2221breq2d 4449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
2317, 22sylibd 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
2411, 23mtod 177 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  -.  -u x  e. 
NN0 )
25 eldmgm 28437 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  -.  -u x  e.  NN0 ) )
262, 24, 25sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  x  e.  ( CC  \  ( ZZ 
\  NN ) ) )
2726rabssdv 3565 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) } 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) )
281, 27syl5eqss 3533 1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   {crab 2797    \ cdif 3458    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    < clt 9631    <_ cle 9632   -ucneg 9811    / cdiv 10212   NNcn 10542   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   abscabs 13046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-seq 12087  df-exp 12146  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  28445  lgamgulmlem3  28446  lgamgulmlem5  28448  lgamgulmlem6  28449  lgamgulm2  28451  lgambdd  28452
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