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Theorem lgamgulmlem1 28061
Description: Lemma for lgamgulm 28067. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, R    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)

Proof of Theorem lgamgulmlem1
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.u . 2  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
2 simp2 992 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
3 lgamgulm.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
433ad2ant1 1012 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  R  e.  NN )
54nnred 10540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  R  e.  RR )
64nngt0d 10568 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  <  R
)
75, 6recgt0d 10469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  <  (
1  /  R ) )
8 0re 9585 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  0  e.  RR )
104nnrecred 10570 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( 1  /  R )  e.  RR )
119, 10ltnled 9720 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( 0  < 
( 1  /  R
)  <->  -.  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
127, 11mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  -.  ( 1  /  R )  <_ 
0 )
13 oveq2 6283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  -u x  ->  (
x  +  k )  =  ( x  +  -u x ) )
1413fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  -u x  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
x  +  -u x
) ) )
1514breq2d 4452 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  -u x  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
1615rspccv 3204 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
18173ad2ant3 1014 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) ) ) )
192negidd 9909 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( x  +  -u x )  =  0 )
2019fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  -u x
) )  =  ( abs `  0 ) )
21 abs0 13068 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  0 )  =  0
2220, 21syl6eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  -u x
) )  =  0 )
2322breq2d 4452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  -u x
) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
2418, 23sylibd 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  ( -u x  e.  NN0  ->  ( 1  /  R )  <_ 
0 ) )
2512, 24mtod 177 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  -.  -u x  e. 
NN0 )
26 eldmgm 28054 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  -.  -u x  e.  NN0 ) )
272, 25, 26sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) )  ->  x  e.  ( CC  \  ( ZZ 
\  NN ) ) )
2827rabssdv 3573 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) } 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) )
291, 28syl5eqss 3541 1  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   {crab 2811    \ cdif 3466    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618   -ucneg 9795    / cdiv 10195   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   abscabs 13017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  28062  lgamgulmlem3  28063  lgamgulmlem5  28065  lgamgulmlem6  28066  lgamgulm2  28068  lgambdd  28069
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