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Theorem lgamgulm2 24773
Description: Rewrite the limit of the sequence  G in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulm2  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  U  ( log  _G `  z )  e.  CC  /\ 
seq  1 (  o F  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, m, x, z, R    U, m, z    ph, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulm2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . . . 7  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
31, 2lgamgulmlem1 24766 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
43sselda 3308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
5 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z ) )  e. 
_V
6 df-lgam 24756 . . . . . 6  |-  log  _G  =  ( z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) 
|->  ( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z
) ) )
76fvmpt2 5771 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  ( sum_ n  e.  NN  (
( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) )  -  ( log `  z ) )  e.  _V )  -> 
( log  _G `  z
)  =  ( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z ) ) )
84, 5, 7sylancl 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  ( log  _G `  z )  =  ( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z
) ) )
9 nnuz 10477 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 1z 10267 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  1  e.  ZZ )
12 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
13 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
1412, 13oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( n  +  1 )  /  n ) )
1514fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  =  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )
1615oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
17 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
z  /  m )  =  ( z  /  n ) )
1817oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  =  ( ( z  /  n )  +  1 ) )
1918fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) )  =  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) )
2016, 19oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) )  =  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) ) )
21 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )
22 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
2320, 21, 22fvmpt 5765 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) )
2423adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) )
254eldifad 3292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
2625adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  z  e.  CC )
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2827peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
2928nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  RR+ )
3027nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
3129, 30rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( n  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
3231relogcld 20471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) )  e.  RR )
3332recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) )  e.  CC )
3426, 33mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  e.  CC )
3527nncnd 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
3627nnne0d 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
3726, 35, 36divcld 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
z  /  n )  e.  CC )
38 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
4037, 39addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( z  /  n
)  +  1 )  e.  CC )
414adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
4241, 27dmgmdivn0 24765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( z  /  n
)  +  1 )  =/=  0 )
4340, 42logcld 20421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) )  e.  CC )
4434, 43subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
45 seqfn 11290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
4610, 45ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
(  o F  +  ,  G )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
479fneq2i 5499 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  1 (  o F  +  ,  G )  Fn  NN  <->  seq  1
(  o F  +  ,  G )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
4846, 47mpbir 201 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  o F  +  ,  G )  Fn  NN
49 lgamgulm.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
501, 2, 49lgamgulm 24772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G
)  e.  dom  ( ~~> u `  U )
)
51 ulmdm 20262 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  1 (  o F  +  ,  G )  e.  dom  ( ~~> u `  U )  <->  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( ( ~~> u `  U ) `
 seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) )
5250, 51sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( ( ~~> u `  U ) `
 seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) )
53 ulmf2 20253 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  o F  +  ,  G
)  Fn  NN  /\  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) )  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G ) : NN --> ( CC 
^m  U ) )
5448, 52, 53sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G
) : NN --> ( CC 
^m  U ) )
5554adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G ) : NN --> ( CC 
^m  U ) )
56 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
57 seqex 11280 . . . . . . . . 9  |-  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) ) )  e.  _V
5857a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )  e.  _V )
5949a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) )
6059seqeq3d 11286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G )  =  seq  1 (  o F  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) ) )
6160fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  G ) `
 n )  =  (  seq  1 (  o F  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) ) `  n ) )
62 cnex 9027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  _V
6362rabex 4314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  e.  _V
642, 63eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U  e. 
_V )
66 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
6766, 9syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
68 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  m  e.  NN )
6968ssriv 3312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
71 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) )  e.  _V
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
m  e.  NN  /\  z  e.  U )
)  ->  ( (
z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) )  e.  _V )
7365, 67, 70, 72seqof2 11336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) ) `
 n )  =  ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) ) )
7473adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) ) `
 n )  =  ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) ) )
7561, 74eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  G ) `
 n )  =  ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) ) )
7675fveq1d 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
(  seq  1 (  o F  +  ,  G ) `  n
) `  z )  =  ( ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
) ) `  z
) )
7756adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  z  e.  U )
78 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
)  e.  _V
79 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
) )  =  ( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
) )
8079fvmpt2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  U  /\  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  U  |->  (  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 n ) ) `
 z )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) )
8177, 78, 80sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( z  e.  U  |->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) ) `  z )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  n
) )
8276, 81eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  n  e.  NN )  ->  (
(  seq  1 (  o F  +  ,  G ) `  n
) `  z )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 n ) )
8352adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) )
849, 11, 55, 56, 58, 82, 83ulmclm 20256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( ( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ) `  z ) )
859, 11, 24, 44, 84isumclim 12496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ~~> u `  U ) `
 seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) `  z ) )
86 ulmcl 20250 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )  ->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G
) ) : U --> CC )
8752, 86syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) : U --> CC )
8887ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) `  z )  e.  CC )
8985, 88eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
904dmgmn0 24763 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  0 )
9125, 90logcld 20421 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  z )  e.  CC )
9289, 91subcld 9367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  ( sum_ n  e.  NN  (
( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) )  -  ( log `  z ) )  e.  CC )
938, 92eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  ( log  _G `  z )  e.  CC )
9493ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U  ( log  _G `  z
)  e.  CC )
95 ffn 5550 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ) : U --> CC  ->  (
( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) )  Fn  U )
9652, 86, 953syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )  Fn  U )
97 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ z
( ~~> u `  U
)
98 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
1
99 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  o F  +
100 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z NN
101 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )
102100, 101nfmpt 4257 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
10349, 102nfcxfr 2537 . . . . . . . 8  |-  F/_ z G
10498, 99, 103nfseq 11288 . . . . . . 7  |-  F/_ z  seq  1 (  o F  +  ,  G )
10597, 104nffv 5694 . . . . . 6  |-  F/_ z
( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )
106105dffn5f 5740 . . . . 5  |-  ( ( ( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) )  Fn  U  <->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( ( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ) `  z ) ) )
10796, 106sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( ( ~~> u `  U
) `  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ) `  z ) ) )
1088oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) )  =  ( ( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z
) )  +  ( log `  z ) ) )
10989, 91npcand 9371 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
( sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) )  -  ( log `  z
) )  +  ( log `  z ) )  =  sum_ n  e.  NN  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) )
110108, 109, 853eqtrrd 2441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) `  z )  =  ( ( log  _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )
111110mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ) `  z ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
112107, 111eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> u `  U ) `  seq  1 (  o F  +  ,  G ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
11352, 112breqtrd 4196 . 2  |-  ( ph  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
11494, 113jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  U  ( log  _G `  z )  e.  CC  /\ 
seq  1 (  o F  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log  _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278   abscabs 11994   sum_csu 12434   ~~> uculm 20245   logclog 20405   log  _Gclgam 24753
This theorem is referenced by:  lgambdd  24774  lgamcvglem  24777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407  df-cxp 20408  df-lgam 24756
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