MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgambdd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lgambdd 23962
Description: The log-Gamma function is bounded on the region  U. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgambdd  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
Distinct variable groups:    G, r    k, m, r, x, z, R    U, m, r, z    ph, m, r, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgambdd
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
3 lgamgulm.g . . . . 5  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
41, 2, 3lgamgulm2 23961 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  U  ( log _G `  z )  e.  CC  /\ 
seq 1 (  oF  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
54simprd 465 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  oF  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
6 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
71, 2, 3, 6lgamgulmlem6 23959 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y ) ) )
87simprd 465 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y ) )
95, 8mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y )
101nnrpd 11339 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1110adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  R  e.  RR+ )
1211relogcld 23572 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( log `  R )  e.  RR )
13 pire 23413 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  pi  e.  RR )
1512, 14readdcld 9670 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( log `  R )  +  pi )  e.  RR )
16 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
1715, 16readdcld 9670 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
1817adantrr 723 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  (
( ( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
194simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U  ( log _G `  z
)  e.  CC )
2019adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. z  e.  U  ( log _G `
 z )  e.  CC )
2120r19.21bi 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log _G `  z )  e.  CC )
2221abscld 13498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  e.  RR )
2322adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  e.  RR )
2411adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  R  e.  RR+ )
2524relogcld 23572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  R )  e.  RR )
2613a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  pi  e.  RR )
2725, 26readdcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log `  R
)  +  pi )  e.  RR )
281, 2lgamgulmlem1 23954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
2928adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3029sselda 3432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3130eldifad 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
3230dmgmn0 23951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  0 )
3331, 32logcld 23520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  z )  e.  CC )
3421, 33addcld 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) )  e.  CC )
3534abscld 13498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )  e.  RR )
3627, 35readdcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
3736adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
3817ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
3933abscld 13498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  e.  RR )
4039, 35readdcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
4133negcld 9973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  z )  e.  CC )
4221, 41abs2difd 13519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  -u ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  -  -u ( log `  z ) ) ) )
4333absnegd 13511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  -u ( log `  z
) )  =  ( abs `  ( log `  z ) ) )
4443oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  -u ( log `  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) ) )
4521, 33subnegd 9993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log _G `  z
)  -  -u ( log `  z ) )  =  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )
4645fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  -  -u ( log `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
4742, 44, 463brtr3d 4432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
4822, 39, 35lesubadd2d 10212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <-> 
( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  z
) )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) ) )
4947, 48mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
5031, 32absrpcld 13510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  z )  e.  RR+ )
5150relogcld 23572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  e.  RR )
5251recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  e.  CC )
5352abscld 13498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  e.  RR )
5453, 26readdcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi )  e.  RR )
55 abslogle 23567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  z ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  +  pi ) )
5631, 32, 55syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  <_  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi ) )
57 1rp 11306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
58 relogdiv 23542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) ) )
5957, 24, 58sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) ) )
60 df-neg 9863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u ( log `  R )  =  ( 0  -  ( log `  R ) )
61 log1 23535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  1 )  =  0
6261oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( log `  1 )  -  ( log `  R
) )  =  ( 0  -  ( log `  R ) )
6360, 62eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( log `  R )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) )
6459, 63syl6reqr 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  R )  =  ( log `  (
1  /  R ) ) )
65 0nn0 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  NN0
66 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  z
) )
6766breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  z )  <_  R
) )
68 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  k )  =  ( z  +  k ) )
6968fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
z  +  k ) ) )
7069breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7170ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) ) )
7267, 71anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  z )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) ) ) )
7372, 2elrab2 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  U  <->  ( z  e.  CC  /\  ( ( abs `  z )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) ) ) ) )
7473simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  U  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7574adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7675simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) )
77 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  0  ->  (
z  +  k )  =  ( z  +  0 ) )
7877fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  ( abs `  ( z  +  k ) )  =  ( abs `  (
z  +  0 ) ) )
7978breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( z  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  0 ) ) ) )
8079rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) )  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  0 ) ) ) )
8165, 76, 80mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  0 ) ) )
8231addid1d 9833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  +  0 )  =  z )
8382fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( z  +  0 ) )  =  ( abs `  z
) )
8481, 83breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  <_  ( abs `  z
) )
8524rpreccld 11351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  e.  RR+ )
8685, 50logled 23576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  z )  <->  ( log `  ( 1  /  R
) )  <_  ( log `  ( abs `  z
) ) ) )
8784, 86mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) ) )
8864, 87eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  R )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) ) )
8975simpld 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  z )  <_  R )
9050, 24logled 23576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  <->  ( log `  ( abs `  z
) )  <_  ( log `  R ) ) )
9189, 90mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  <_  ( log `  R ) )
9251, 25absled 13492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  <_ 
( log `  R
)  <->  ( -u ( log `  R )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) )  /\  ( log `  ( abs `  z ) )  <_  ( log `  R
) ) ) )
9388, 91, 92mpbir2and 933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  <_  ( log `  R ) )
9453, 25, 26, 93leadd1dd 10227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi )  <_  (
( log `  R
)  +  pi ) )
9539, 54, 27, 56, 94letrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  <_  (
( log `  R
)  +  pi ) )
9639, 27, 35, 95leadd1dd 10227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  <_  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9722, 40, 36, 49, 96letrd 9792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9897adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9935adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  e.  RR )
100 simpllr 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
10127adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( ( log `  R )  +  pi )  e.  RR )
102 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)
10399, 100, 101, 102leadd2dd 10228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  <_  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  y ) )
10423, 37, 38, 98, 103letrd 9792 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)
105104ex 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
106105ralimdva 2796 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )  <_ 
y  ->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
107106impr 625 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)
108 breq2 4406 . . . . 5  |-  ( r  =  ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r  <->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
109108ralbidv 2827 . . . 4  |-  ( r  =  ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
110109rspcev 3150 . . 3  |-  ( ( ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
11118, 107, 110syl2anc 667 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
1129, 111rexlimddv 2883 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    \ cdif 3401    C_ wss 3404   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oFcof 6529   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302    seqcseq 12213   ^cexp 12272   abscabs 13297   picpi 14119   ~~> uculm 23331   logclog 23504   log _Gclgam 23941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-tan 14125  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-ulm 23332  df-log 23506  df-cxp 23507  df-lgam 23944
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator