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Theorem lgambdd 28754
Description: The log-Gamma function is bounded on the region  U. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgambdd  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
Distinct variable groups:    G, r    k, m, r, x, z, R    U, m, r, z    ph, m, r, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgambdd
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
3 lgamgulm.g . . . . 5  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
41, 2, 3lgamgulm2 28753 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  U  ( log _G `  z )  e.  CC  /\ 
seq 1 (  oF  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
54simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  oF  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
6 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
71, 2, 3, 6lgamgulmlem6 28751 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y ) ) )
87simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y ) )
95, 8mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y )
101nnrpd 11280 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  R  e.  RR+ )
1211relogcld 23133 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( log `  R )  e.  RR )
13 pire 22976 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  pi  e.  RR )
1512, 14readdcld 9640 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( log `  R )  +  pi )  e.  RR )
16 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
1715, 16readdcld 9640 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
1817adantrr 716 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  (
( ( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
194simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U  ( log _G `  z
)  e.  CC )
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. z  e.  U  ( log _G `
 z )  e.  CC )
2120r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log _G `  z )  e.  CC )
2221abscld 13278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  e.  RR )
2322adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  e.  RR )
2411adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  R  e.  RR+ )
2524relogcld 23133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  R )  e.  RR )
2613a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  pi  e.  RR )
2725, 26readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log `  R
)  +  pi )  e.  RR )
281, 2lgamgulmlem1 28746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3029sselda 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3130eldifad 3483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
3230dmgmn0 28743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  0 )
3331, 32logcld 23083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  z )  e.  CC )
3421, 33addcld 9632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) )  e.  CC )
3534abscld 13278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )  e.  RR )
3627, 35readdcld 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
3817ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
3933abscld 13278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  e.  RR )
4039, 35readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
4133negcld 9937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  z )  e.  CC )
4221, 41abs2difd 13299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  -u ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  -  -u ( log `  z ) ) ) )
4333absnegd 13291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  -u ( log `  z
) )  =  ( abs `  ( log `  z ) ) )
4443oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  -u ( log `  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) ) )
4521, 33subnegd 9957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log _G `  z
)  -  -u ( log `  z ) )  =  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )
4645fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  -  -u ( log `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
4742, 44, 463brtr3d 4485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
4822, 39, 35lesubadd2d 10172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <-> 
( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  z
) )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) ) )
4947, 48mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
5031, 32absrpcld 13290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  z )  e.  RR+ )
5150relogcld 23133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  e.  RR )
5251recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  e.  CC )
5352abscld 13278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  e.  RR )
5453, 26readdcld 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi )  e.  RR )
55 abslogle 23128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  z ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  +  pi ) )
5631, 32, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  <_  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi ) )
57 1rp 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
58 relogdiv 23102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) ) )
5957, 24, 58sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) ) )
60 df-neg 9827 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u ( log `  R )  =  ( 0  -  ( log `  R ) )
61 log1 23095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  1 )  =  0
6261oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( log `  1 )  -  ( log `  R
) )  =  ( 0  -  ( log `  R ) )
6360, 62eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( log `  R )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) )
6459, 63syl6reqr 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  R )  =  ( log `  (
1  /  R ) ) )
65 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  NN0
66 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  z
) )
6766breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  z )  <_  R
) )
68 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  k )  =  ( z  +  k ) )
6968fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
z  +  k ) ) )
7069breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7170ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) ) )
7267, 71anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  z )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) ) ) )
7372, 2elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  U  <->  ( z  e.  CC  /\  ( ( abs `  z )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) ) ) ) )
7473simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  U  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7675simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) )
77 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  0  ->  (
z  +  k )  =  ( z  +  0 ) )
7877fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  ( abs `  ( z  +  k ) )  =  ( abs `  (
z  +  0 ) ) )
7978breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( z  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  0 ) ) ) )
8079rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) )  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  0 ) ) ) )
8165, 76, 80mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  0 ) ) )
8231addid1d 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  +  0 )  =  z )
8382fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( z  +  0 ) )  =  ( abs `  z
) )
8481, 83breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  <_  ( abs `  z
) )
8524rpreccld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  e.  RR+ )
8685, 50logled 23137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  z )  <->  ( log `  ( 1  /  R
) )  <_  ( log `  ( abs `  z
) ) ) )
8784, 86mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) ) )
8864, 87eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  R )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) ) )
8975simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  z )  <_  R )
9050, 24logled 23137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  <->  ( log `  ( abs `  z
) )  <_  ( log `  R ) ) )
9189, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  <_  ( log `  R ) )
9251, 25absled 13273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  <_ 
( log `  R
)  <->  ( -u ( log `  R )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) )  /\  ( log `  ( abs `  z ) )  <_  ( log `  R
) ) ) )
9388, 91, 92mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  <_  ( log `  R ) )
9453, 25, 26, 93leadd1dd 10187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi )  <_  (
( log `  R
)  +  pi ) )
9539, 54, 27, 56, 94letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  <_  (
( log `  R
)  +  pi ) )
9639, 27, 35, 95leadd1dd 10187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  <_  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9722, 40, 36, 49, 96letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9935adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  e.  RR )
100 simpllr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
10127adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( ( log `  R )  +  pi )  e.  RR )
102 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)
10399, 100, 101, 102leadd2dd 10188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  <_  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  y ) )
10423, 37, 38, 98, 103letrd 9756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)
105104ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
106105ralimdva 2865 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )  <_ 
y  ->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
107106impr 619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)
108 breq2 4460 . . . . 5  |-  ( r  =  ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r  <->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
109108ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( r  =  ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
110109rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
11118, 107, 110syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
1129, 111rexlimddv 2953 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245    seqcseq 12109   ^cexp 12168   abscabs 13078   picpi 13813   ~~> uculm 22896   logclog 23067   log _Gclgam 28733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-tan 13818  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-ulm 22897  df-log 23069  df-cxp 23070  df-lgam 28736
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