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Theorem lgambdd 27023
Description: The log-Gamma function is bounded on the region  U. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgambdd  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
Distinct variable groups:    G, r    k, m, r, x, z, R    U, m, r, z    ph, m, r, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgambdd
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
3 lgamgulm.g . . . . 5  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
41, 2, 3lgamgulm2 27022 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  U  ( log _G `  z )  e.  CC  /\ 
seq 1 (  oF  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
54simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  oF  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
71, 2, 3, 6lgamgulmlem6 27020 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y ) ) )
87simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y ) )
95, 8mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y )
101nnrpd 11026 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  R  e.  RR+ )
1211relogcld 22072 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( log `  R )  e.  RR )
13 pire 21921 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  pi  e.  RR )
1512, 14readdcld 9413 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( log `  R )  +  pi )  e.  RR )
16 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
1715, 16readdcld 9413 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
1817adantrr 716 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  (
( ( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
194simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U  ( log _G `  z
)  e.  CC )
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. z  e.  U  ( log _G `
 z )  e.  CC )
2120r19.21bi 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log _G `  z )  e.  CC )
2221abscld 12922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  e.  RR )
2322adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  e.  RR )
2411adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  R  e.  RR+ )
2524relogcld 22072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  R )  e.  RR )
2613a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  pi  e.  RR )
2725, 26readdcld 9413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log `  R
)  +  pi )  e.  RR )
281, 2lgamgulmlem1 27015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3029sselda 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3130eldifad 3340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
3230dmgmn0 27012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  0 )
3331, 32logcld 22022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  z )  e.  CC )
3421, 33addcld 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) )  e.  CC )
3534abscld 12922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )  e.  RR )
3627, 35readdcld 9413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
3817ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
3933abscld 12922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  e.  RR )
4039, 35readdcld 9413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
4133negcld 9706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  z )  e.  CC )
4221, 41abs2difd 12943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  -u ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  -  -u ( log `  z ) ) ) )
4333absnegd 12935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  -u ( log `  z
) )  =  ( abs `  ( log `  z ) ) )
4443oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  -u ( log `  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) ) )
4521, 33subnegd 9726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log _G `  z
)  -  -u ( log `  z ) )  =  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )
4645fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  -  -u ( log `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
4742, 44, 463brtr3d 4321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
4822, 39, 35lesubadd2d 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <-> 
( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  z
) )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) ) )
4947, 48mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
5031, 32absrpcld 12934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  z )  e.  RR+ )
5150relogcld 22072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  e.  RR )
5251recnd 9412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  e.  CC )
5352abscld 12922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  e.  RR )
5453, 26readdcld 9413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi )  e.  RR )
55 abslogle 22067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  z ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  +  pi ) )
5631, 32, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  <_  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi ) )
57 1rp 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
58 relogdiv 22041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) ) )
5957, 24, 58sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) ) )
60 df-neg 9598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u ( log `  R )  =  ( 0  -  ( log `  R ) )
61 log1 22034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  1 )  =  0
6261oveq1i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( log `  1 )  -  ( log `  R
) )  =  ( 0  -  ( log `  R ) )
6360, 62eqtr4i 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( log `  R )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) )
6459, 63syl6reqr 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  R )  =  ( log `  (
1  /  R ) ) )
65 0nn0 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  NN0
66 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  z
) )
6766breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  z )  <_  R
) )
68 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  k )  =  ( z  +  k ) )
6968fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
z  +  k ) ) )
7069breq2d 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7170ralbidv 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) ) )
7267, 71anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  z )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) ) ) )
7372, 2elrab2 3119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  U  <->  ( z  e.  CC  /\  ( ( abs `  z )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) ) ) ) )
7473simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  U  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7675simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) )
77 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  0  ->  (
z  +  k )  =  ( z  +  0 ) )
7877fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  ( abs `  ( z  +  k ) )  =  ( abs `  (
z  +  0 ) ) )
7978breq2d 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( z  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  0 ) ) ) )
8079rspcv 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) )  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  0 ) ) ) )
8165, 76, 80mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  0 ) ) )
8231addid1d 9569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  +  0 )  =  z )
8382fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( z  +  0 ) )  =  ( abs `  z
) )
8481, 83breqtrd 4316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  <_  ( abs `  z
) )
8524rpreccld 11037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  e.  RR+ )
8685, 50logled 22076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  z )  <->  ( log `  ( 1  /  R
) )  <_  ( log `  ( abs `  z
) ) ) )
8784, 86mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) ) )
8864, 87eqbrtrd 4312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  R )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) ) )
8975simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  z )  <_  R )
9050, 24logled 22076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  <->  ( log `  ( abs `  z
) )  <_  ( log `  R ) ) )
9189, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  <_  ( log `  R ) )
9251, 25absled 12917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  <_ 
( log `  R
)  <->  ( -u ( log `  R )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) )  /\  ( log `  ( abs `  z ) )  <_  ( log `  R
) ) ) )
9388, 91, 92mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  <_  ( log `  R ) )
9453, 25, 26, 93leadd1dd 9953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi )  <_  (
( log `  R
)  +  pi ) )
9539, 54, 27, 56, 94letrd 9528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  <_  (
( log `  R
)  +  pi ) )
9639, 27, 35, 95leadd1dd 9953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  <_  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9722, 40, 36, 49, 96letrd 9528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9935adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  e.  RR )
100 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
10127adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( ( log `  R )  +  pi )  e.  RR )
102 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)
10399, 100, 101, 102leadd2dd 9954 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  <_  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  y ) )
10423, 37, 38, 98, 103letrd 9528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)
105104ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
106105ralimdva 2794 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )  <_ 
y  ->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
107106impr 619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)
108 breq2 4296 . . . . 5  |-  ( r  =  ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r  <->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
109108ralbidv 2735 . . . 4  |-  ( r  =  ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
110109rspcev 3073 . . 3  |-  ( ( ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
11118, 107, 110syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
1129, 111rexlimddv 2845 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719    \ cdif 3325    C_ wss 3328   ifcif 3791   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    <_ cle 9419    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   RR+crp 10991    seqcseq 11806   ^cexp 11865   abscabs 12723   picpi 13352   ~~> uculm 21841   logclog 22006   log _Gclgam 27002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-tan 13357  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-ulm 21842  df-log 22008  df-cxp 22009  df-lgam 27005
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