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Theorem lgambdd 24041
Description: The log-Gamma function is bounded on the region  U. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgambdd  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
Distinct variable groups:    G, r    k, m, r, x, z, R    U, m, r, z    ph, m, r, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgambdd
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
3 lgamgulm.g . . . . 5  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
41, 2, 3lgamgulm2 24040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  U  ( log _G `  z )  e.  CC  /\ 
seq 1 (  oF  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
54simprd 470 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  oF  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
6 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
71, 2, 3, 6lgamgulmlem6 24038 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y ) ) )
87simprd 470 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y ) )
95, 8mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y )
101nnrpd 11362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1110adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  R  e.  RR+ )
1211relogcld 23651 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( log `  R )  e.  RR )
13 pire 23492 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  pi  e.  RR )
1512, 14readdcld 9688 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( log `  R )  +  pi )  e.  RR )
16 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
1715, 16readdcld 9688 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
1817adantrr 731 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  (
( ( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
194simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U  ( log _G `  z
)  e.  CC )
2019adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. z  e.  U  ( log _G `
 z )  e.  CC )
2120r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log _G `  z )  e.  CC )
2221abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  e.  RR )
2322adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  e.  RR )
2411adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  R  e.  RR+ )
2524relogcld 23651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  R )  e.  RR )
2613a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  pi  e.  RR )
2725, 26readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log `  R
)  +  pi )  e.  RR )
281, 2lgamgulmlem1 24033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3029sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3130eldifad 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
3230dmgmn0 24030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  0 )
3331, 32logcld 23599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  z )  e.  CC )
3421, 33addcld 9680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) )  e.  CC )
3534abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )  e.  RR )
3627, 35readdcld 9688 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
3736adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
3817ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
3933abscld 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  e.  RR )
4039, 35readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
4133negcld 9992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  z )  e.  CC )
4221, 41abs2difd 13596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  -u ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  -  -u ( log `  z ) ) ) )
4333absnegd 13588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  -u ( log `  z
) )  =  ( abs `  ( log `  z ) ) )
4443oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  -u ( log `  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) ) )
4521, 33subnegd 10012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log _G `  z
)  -  -u ( log `  z ) )  =  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )
4645fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  -  -u ( log `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
4742, 44, 463brtr3d 4425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
4822, 39, 35lesubadd2d 10233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <-> 
( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  z
) )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) ) )
4947, 48mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
5031, 32absrpcld 13587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  z )  e.  RR+ )
5150relogcld 23651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  e.  RR )
5251recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  e.  CC )
5352abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  e.  RR )
5453, 26readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi )  e.  RR )
55 abslogle 23646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  z ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  +  pi ) )
5631, 32, 55syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  <_  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi ) )
57 1rp 11329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
58 relogdiv 23621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) ) )
5957, 24, 58sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) ) )
60 df-neg 9883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u ( log `  R )  =  ( 0  -  ( log `  R ) )
61 log1 23614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  1 )  =  0
6261oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( log `  1 )  -  ( log `  R
) )  =  ( 0  -  ( log `  R ) )
6360, 62eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( log `  R )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) )
6459, 63syl6reqr 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  R )  =  ( log `  (
1  /  R ) ) )
65 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  NN0
66 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  z
) )
6766breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  z )  <_  R
) )
68 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  k )  =  ( z  +  k ) )
6968fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
z  +  k ) ) )
7069breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7170ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) ) )
7267, 71anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  z )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) ) ) )
7372, 2elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  U  <->  ( z  e.  CC  /\  ( ( abs `  z )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) ) ) ) )
7473simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  U  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7574adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7675simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) )
77 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  0  ->  (
z  +  k )  =  ( z  +  0 ) )
7877fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  ( abs `  ( z  +  k ) )  =  ( abs `  (
z  +  0 ) ) )
7978breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( z  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  0 ) ) ) )
8079rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) )  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  0 ) ) ) )
8165, 76, 80mpsyl 64 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  0 ) ) )
8231addid1d 9851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  +  0 )  =  z )
8382fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( z  +  0 ) )  =  ( abs `  z
) )
8481, 83breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  <_  ( abs `  z
) )
8524rpreccld 11374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  e.  RR+ )
8685, 50logled 23655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  z )  <->  ( log `  ( 1  /  R
) )  <_  ( log `  ( abs `  z
) ) ) )
8784, 86mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) ) )
8864, 87eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  R )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) ) )
8975simpld 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  z )  <_  R )
9050, 24logled 23655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  <->  ( log `  ( abs `  z
) )  <_  ( log `  R ) ) )
9189, 90mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  <_  ( log `  R ) )
9251, 25absled 13569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  <_ 
( log `  R
)  <->  ( -u ( log `  R )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) )  /\  ( log `  ( abs `  z ) )  <_  ( log `  R
) ) ) )
9388, 91, 92mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  <_  ( log `  R ) )
9453, 25, 26, 93leadd1dd 10248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi )  <_  (
( log `  R
)  +  pi ) )
9539, 54, 27, 56, 94letrd 9809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  <_  (
( log `  R
)  +  pi ) )
9639, 27, 35, 95leadd1dd 10248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  <_  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9722, 40, 36, 49, 96letrd 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9897adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9935adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  e.  RR )
100 simpllr 777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
10127adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( ( log `  R )  +  pi )  e.  RR )
102 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)
10399, 100, 101, 102leadd2dd 10249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  <_  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  y ) )
10423, 37, 38, 98, 103letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)
105104ex 441 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
106105ralimdva 2805 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )  <_ 
y  ->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
107106impr 631 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)
108 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( r  =  ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r  <->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
109108ralbidv 2829 . . . 4  |-  ( r  =  ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
110109rspcev 3136 . . 3  |-  ( ( ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
11118, 107, 110syl2anc 673 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
1129, 111rexlimddv 2875 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3387    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325    seqcseq 12251   ^cexp 12310   abscabs 13374   picpi 14196   ~~> uculm 23410   logclog 23583   log _Gclgam 24020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ulm 23411  df-log 23585  df-cxp 23586  df-lgam 24023
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