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Theorem lgambdd 28216
Description: The log-Gamma function is bounded on the region  U. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgambdd  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
Distinct variable groups:    G, r    k, m, r, x, z, R    U, m, r, z    ph, m, r, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgambdd
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
3 lgamgulm.g . . . . 5  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
41, 2, 3lgamgulm2 28215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  U  ( log _G `  z )  e.  CC  /\ 
seq 1 (  oF  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
54simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  oF  +  ,  G
) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
71, 2, 3, 6lgamgulmlem6 28213 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y ) ) )
87simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y ) )
95, 8mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y )
101nnrpd 11251 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  R  e.  RR+ )
1211relogcld 22733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( log `  R )  e.  RR )
13 pire 22582 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  pi  e.  RR )
1512, 14readdcld 9619 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( log `  R )  +  pi )  e.  RR )
16 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
1715, 16readdcld 9619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
1817adantrr 716 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  (
( ( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
194simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U  ( log _G `  z
)  e.  CC )
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. z  e.  U  ( log _G `
 z )  e.  CC )
2120r19.21bi 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log _G `  z )  e.  CC )
2221abscld 13223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  e.  RR )
2322adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  e.  RR )
2411adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  R  e.  RR+ )
2524relogcld 22733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  R )  e.  RR )
2613a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  pi  e.  RR )
2725, 26readdcld 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log `  R
)  +  pi )  e.  RR )
281, 2lgamgulmlem1 28208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3029sselda 3504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3130eldifad 3488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
3230dmgmn0 28205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  0 )
3331, 32logcld 22683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  z )  e.  CC )
3421, 33addcld 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) )  e.  CC )
3534abscld 13223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )  e.  RR )
3627, 35readdcld 9619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
3817ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  y )  e.  RR )
3933abscld 13223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  e.  RR )
4039, 35readdcld 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  e.  RR )
4133negcld 9913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  z )  e.  CC )
4221, 41abs2difd 13244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  -u ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  -  -u ( log `  z ) ) ) )
4333absnegd 13236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  -u ( log `  z
) )  =  ( abs `  ( log `  z ) ) )
4443oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  -u ( log `  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) ) )
4521, 33subnegd 9933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( log _G `  z
)  -  -u ( log `  z ) )  =  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )
4645fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  -  -u ( log `  z
) ) )  =  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
4742, 44, 463brtr3d 4476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )
4822, 39, 35lesubadd2d 10147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( ( abs `  ( log _G `  z ) )  -  ( abs `  ( log `  z
) ) )  <_ 
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <-> 
( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  z
) )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) ) )
4947, 48mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
5031, 32absrpcld 13235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  z )  e.  RR+ )
5150relogcld 22733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  e.  RR )
5251recnd 9618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  e.  CC )
5352abscld 13223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  e.  RR )
5453, 26readdcld 9619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi )  e.  RR )
55 abslogle 22728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( log `  z ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  +  pi ) )
5631, 32, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  <_  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi ) )
57 1rp 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
58 relogdiv 22702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) ) )
5957, 24, 58sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) ) )
60 df-neg 9804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u ( log `  R )  =  ( 0  -  ( log `  R ) )
61 log1 22695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  1 )  =  0
6261oveq1i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( log `  1 )  -  ( log `  R
) )  =  ( 0  -  ( log `  R ) )
6360, 62eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( log `  R )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  R ) )
6459, 63syl6reqr 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  R )  =  ( log `  (
1  /  R ) ) )
65 0nn0 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  NN0
66 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  z
) )
6766breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  z )  <_  R
) )
68 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  k )  =  ( z  +  k ) )
6968fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
z  +  k ) ) )
7069breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7170ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) ) )
7267, 71anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  z )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) ) ) )
7372, 2elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  U  <->  ( z  e.  CC  /\  ( ( abs `  z )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) ) ) ) )
7473simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  U  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  k ) ) ) )
7675simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( z  +  k ) ) )
77 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  0  ->  (
z  +  k )  =  ( z  +  0 ) )
7877fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  ( abs `  ( z  +  k ) )  =  ( abs `  (
z  +  0 ) ) )
7978breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( z  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  0 ) ) ) )
8079rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  k ) )  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
z  +  0 ) ) ) )
8165, 76, 80mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
z  +  0 ) ) )
8231addid1d 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  +  0 )  =  z )
8382fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( z  +  0 ) )  =  ( abs `  z
) )
8481, 83breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  <_  ( abs `  z
) )
8524rpreccld 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
1  /  R )  e.  RR+ )
8685, 50logled 22737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  z )  <->  ( log `  ( 1  /  R
) )  <_  ( log `  ( abs `  z
) ) ) )
8784, 86mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( 1  /  R ) )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) ) )
8864, 87eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  -u ( log `  R )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) ) )
8975simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  z )  <_  R )
9050, 24logled 22737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  <->  ( log `  ( abs `  z
) )  <_  ( log `  R ) ) )
9189, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( abs `  z
) )  <_  ( log `  R ) )
9251, 25absled 13218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  <_ 
( log `  R
)  <->  ( -u ( log `  R )  <_ 
( log `  ( abs `  z ) )  /\  ( log `  ( abs `  z ) )  <_  ( log `  R
) ) ) )
9388, 91, 92mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  ( abs `  z ) ) )  <_  ( log `  R ) )
9453, 25, 26, 93leadd1dd 10162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  ( abs `  z
) ) )  +  pi )  <_  (
( log `  R
)  +  pi ) )
9539, 54, 27, 56, 94letrd 9734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log `  z
) )  <_  (
( log `  R
)  +  pi ) )
9639, 27, 35, 95leadd1dd 10162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  ( log `  z ) )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  <_  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9722, 40, 36, 49, 96letrd 9734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) ) ) )
9935adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  e.  RR )
100 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
10127adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( ( log `  R )  +  pi )  e.  RR )
102 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)
10399, 100, 101, 102leadd2dd 10163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  ( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) ) )  <_  ( (
( log `  R
)  +  pi )  +  y ) )
10423, 37, 38, 98, 103letrd 9734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U
)  /\  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)
105104ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  U )  ->  (
( abs `  (
( log _G `  z
)  +  ( log `  z ) ) )  <_  y  ->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
106105ralimdva 2872 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z
) ) )  <_ 
y  ->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
107106impr 619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)
108 breq2 4451 . . . . 5  |-  ( r  =  ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  ->  (
( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r  <->  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
109108ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( r  =  ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
) )
110109rspcev 3214 . . 3  |-  ( ( ( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_ 
( ( ( log `  R )  +  pi )  +  y )
)  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
11118, 107, 110syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( log _G `  z )  +  ( log `  z ) ) )  <_  y
) )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
1129, 111rexlimddv 2959 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  ( log _G `  z ) )  <_  r )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11216    seqcseq 12070   ^cexp 12129   abscabs 13024   picpi 13657   ~~> uculm 22502   logclog 22667   log _Gclgam 28195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-tan 13662  df-pi 13663  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-cmp 19650  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-cncf 21114  df-limc 22002  df-dv 22003  df-ulm 22503  df-log 22669  df-cxp 22670  df-lgam 28198
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