Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lgam1 Structured version   Unicode version

Theorem lgam1 27002
Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
lgam1  |-  ( log _G `  1 )  =  0

Proof of Theorem lgam1
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
21nnrpd 11018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  RR+ )
3 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
42, 3rpdivcld 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
54relogcld 22047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  RR )
65recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  CC )
76mulid2d 9396 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )
8 nncn 10322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
9 nnne0 10346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
108, 9dividd 10097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  /  m )  =  1 )
1110oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  /  m
)  +  ( 1  /  m ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
12 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  CC )
148, 13, 8, 9divdird 10137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( m  /  m )  +  ( 1  /  m
) ) )
158, 9reccld 10092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
1615, 13addcomd 9563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  /  m
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
1711, 14, 163eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  /  m
)  +  1 )  =  ( ( m  +  1 )  /  m ) )
1817fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  ( log `  ( ( 1  /  m )  +  1 ) )  =  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )
197, 18oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( 1  /  m
)  +  1 ) ) )  =  ( ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) )  -  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) ) )
206subidd 9699 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) )  -  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  0 )
2119, 20eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( 1  /  m
)  +  1 ) ) )  =  0 )
2221mpteq2ia 4369 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( 1  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( 1  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
23 fconstmpt 4877 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
24 nnuz 10888 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2524xpeq1i 4855 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )
2622, 23, 253eqtr2ri 2465 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( 1  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( 1  /  m )  +  1 ) ) ) )
27 1nn 10325 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
28 eldifn 3474 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( ZZ  \  NN )  ->  -.  1  e.  NN )
2927, 28mt2 179 . . . . . . 7  |-  -.  1  e.  ( ZZ  \  NN )
30 eldif 3333 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( 1  e.  CC  /\  -.  1  e.  ( ZZ  \  NN ) ) )
3112, 29, 30mpbir2an 911 . . . . . 6  |-  1  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3326, 32lgamcvg 26992 . . . 4  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) )  ~~>  ( ( log _G `  1 )  +  ( log `  1 ) ) )
3433trud 1378 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  ( ( log _G `  1 )  +  ( log `  1
) )
35 log1 22009 . . . . 5  |-  ( log `  1 )  =  0
3635oveq2i 6097 . . . 4  |-  ( ( log _G `  1
)  +  ( log `  1 ) )  =  ( ( log _G `  1 )  +  0 )
37 lgamcl 26979 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  ->  ( log _G `  1 )  e.  CC )
3831, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log _G `  1 )  e.  CC
3938addid1i 9548 . . . 4  |-  ( ( log _G `  1
)  +  0 )  =  ( log _G `  1 )
4036, 39eqtri 2458 . . 3  |-  ( ( log _G `  1
)  +  ( log `  1 ) )  =  ( log _G `  1 )
4134, 40breqtri 4310 . 2  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  ( log _G `  1 )
42 1z 10668 . . 3  |-  1  e.  ZZ
43 serclim0 13047 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
4442, 43ax-mp 5 . 2  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
45 climuni 13022 . 2  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) )  ~~>  ( log _G ` 
1 )  /\  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )  ->  ( log _G `  1 )  =  0 )
4641, 44, 45mp2an 672 1  |-  ( log _G `  1 )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    \ cdif 3320   {csn 3872   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853    seqcseq 11798    ~~> cli 12954   logclog 21981   log _Gclgam 26954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-tan 13349  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-ulm 21817  df-log 21983  df-cxp 21984  df-lgam 26957
This theorem is referenced by:  gam1  27003
  Copyright terms: Public domain W3C validator