Theorem lgam1 27002

Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
lgam1	|- ( log _G ` 1 ) = 0

Proof of Theorem lgam1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 10326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
2	1	nnrpd 11018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. RR+ )
3		nnrp 10992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
4	2, 3	rpdivcld 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( ( m + 1 ) / m ) e. RR+ )
5	4	relogcld 22047	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. RR )
6	5	recnd 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. CC )
7	6	mulid2d 9396	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) = ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) )
8		nncn 10322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. CC )
9		nnne0 10346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
10	8, 9	dividd 10097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( m / m ) = 1 )
11	10	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( m / m ) + ( 1 / m ) ) = ( 1 + ( 1 / m ) ) )
12		ax-1cn 9332	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> 1 e. CC )
14	8, 13, 8, 9	divdird 10137	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( m + 1 ) / m ) = ( ( m / m ) + ( 1 / m ) ) )
15	8, 9	reccld 10092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( 1 / m ) e. CC )
16	15, 13	addcomd 9563	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( 1 / m ) + 1 ) = ( 1 + ( 1 / m ) ) )
17	11, 14, 16	3eqtr4rd 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( ( 1 / m ) + 1 ) = ( ( m + 1 ) / m ) )
18	17	fveq2d 5690	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) = ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) )
19	7, 18	oveq12d 6104	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) = ( ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) - ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) )
20	6	subidd 9699	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) - ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) = 0 )
21	19, 20	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) = 0 )
22	21	mpteq2ia 4369	. . . . . 6 |- ( m e. NN |-> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) ) = ( m e. NN |-> 0 )
23		fconstmpt 4877	. . . . . 6 |- ( NN X. { 0 } ) = ( m e. NN |-> 0 )
24		nnuz 10888	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	24	xpeq1i 4855	. . . . . 6 |- ( NN X. { 0 } ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } )
26	22, 23, 25	3eqtr2ri 2465	. . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) = ( m e. NN |-> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) )
27		1nn 10325	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
28		eldifn 3474	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ( ZZ \ NN ) -> -. 1 e. NN )
29	27, 28	mt2 179	. . . . . . 7 |- -. 1 e. ( ZZ \ NN )
30		eldif 3333	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) <-> ( 1 e. CC /\ -. 1 e. ( ZZ \ NN ) ) )
31	12, 29, 30	mpbir2an 911	. . . . . 6 |- 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) )
32	31	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
33	26, 32	lgamcvg 26992	. . . 4 |- ( T. -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) ) )
34	33	trud 1378	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) )
35		log1 22009	. . . . 5 |- ( log ` 1 ) = 0
36	35	oveq2i 6097	. . . 4 |- ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) ) = ( ( log _G ` 1 ) + 0 )
37		lgamcl 26979	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) -> ( log _G ` 1 ) e. CC )
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( log _G ` 1 ) e. CC
39	38	addid1i 9548	. . . 4 |- ( ( log _G ` 1 ) + 0 ) = ( log _G ` 1 )
40	36, 39	eqtri 2458	. . 3 |- ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) ) = ( log _G ` 1 )
41	34, 40	breqtri 4310	. 2 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( log _G ` 1 )
42		1z 10668	. . 3 |- 1 e. ZZ
43		serclim0 13047	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
44	42, 43	ax-mp 5	. 2 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0
45		climuni 13022	. 2 |- ( ( seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( log _G ` 1 ) /\ seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 ) -> ( log _G ` 1 ) = 0 )
46	41, 44, 45	mp2an 672	1 |- ( log _G ` 1 ) = 0

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   \ cdif 3320   {csn 3872   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   X. cxp 4833   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   - cmin 9587   / cdiv 9985   NNcn 10314   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   seqcseq 11798   ~~> cli 12954   logclog 21981   log _Gclgam 26954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-tan 13349  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-ulm 21817  df-log 21983  df-cxp 21984  df-lgam 26957

This theorem is referenced by:  gam1  27003