Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lgam1 Structured version   Unicode version

Theorem lgam1 28246
Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
lgam1  |-  ( log _G `  1 )  =  0

Proof of Theorem lgam1
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
21nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  RR+ )
3 nnrp 11225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
42, 3rpdivcld 11269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
54relogcld 22736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  RR )
65recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  CC )
76mulid2d 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )
8 nncn 10540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
9 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
108, 9dividd 10314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  /  m )  =  1 )
1110oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  /  m
)  +  ( 1  /  m ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
12 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  CC )
148, 13, 8, 9divdird 10354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( m  /  m )  +  ( 1  /  m
) ) )
158, 9reccld 10309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
1615, 13addcomd 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  /  m
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
1711, 14, 163eqtr4rd 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  /  m
)  +  1 )  =  ( ( m  +  1 )  /  m ) )
1817fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  ( log `  ( ( 1  /  m )  +  1 ) )  =  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )
197, 18oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( 1  /  m
)  +  1 ) ) )  =  ( ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) )  -  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) ) )
206subidd 9914 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) )  -  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  0 )
2119, 20eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( 1  /  m
)  +  1 ) ) )  =  0 )
2221mpteq2ia 4529 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( 1  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( 1  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
23 fconstmpt 5042 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
24 nnuz 11113 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2524xpeq1i 5019 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )
2622, 23, 253eqtr2ri 2503 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( 1  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( 1  /  m )  +  1 ) ) ) )
27 1nn 10543 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
28 eldifn 3627 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( ZZ  \  NN )  ->  -.  1  e.  NN )
2927, 28mt2 179 . . . . . . 7  |-  -.  1  e.  ( ZZ  \  NN )
30 eldif 3486 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( 1  e.  CC  /\  -.  1  e.  ( ZZ  \  NN ) ) )
3112, 29, 30mpbir2an 918 . . . . . 6  |-  1  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3326, 32lgamcvg 28236 . . . 4  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) )  ~~>  ( ( log _G `  1 )  +  ( log `  1 ) ) )
3433trud 1388 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  ( ( log _G `  1 )  +  ( log `  1
) )
35 log1 22698 . . . . 5  |-  ( log `  1 )  =  0
3635oveq2i 6293 . . . 4  |-  ( ( log _G `  1
)  +  ( log `  1 ) )  =  ( ( log _G `  1 )  +  0 )
37 lgamcl 28223 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  ->  ( log _G `  1 )  e.  CC )
3831, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log _G `  1 )  e.  CC
3938addid1i 9762 . . . 4  |-  ( ( log _G `  1
)  +  0 )  =  ( log _G `  1 )
4036, 39eqtri 2496 . . 3  |-  ( ( log _G `  1
)  +  ( log `  1 ) )  =  ( log _G `  1 )
4134, 40breqtri 4470 . 2  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  ( log _G `  1 )
42 1z 10890 . . 3  |-  1  e.  ZZ
43 serclim0 13359 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
4442, 43ax-mp 5 . 2  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
45 climuni 13334 . 2  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) )  ~~>  ( log _G ` 
1 )  /\  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )  ->  ( log _G `  1 )  =  0 )
4641, 44, 45mp2an 672 1  |-  ( log _G `  1 )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    \ cdif 3473   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078    seqcseq 12071    ~~> cli 13266   logclog 22670   log _Gclgam 28198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-tan 13665  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-ulm 22506  df-log 22672  df-cxp 22673  df-lgam 28201
This theorem is referenced by:  gam1  28247
  Copyright terms: Public domain W3C validator