Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lgam1 Structured version   Unicode version

Theorem lgam1 27187
Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
lgam1  |-  ( log _G `  1 )  =  0

Proof of Theorem lgam1
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
21nnrpd 11130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  RR+ )
3 nnrp 11104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
42, 3rpdivcld 11148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
54relogcld 22198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  RR )
65recnd 9516 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  CC )
76mulid2d 9508 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )
8 nncn 10434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
9 nnne0 10458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
108, 9dividd 10209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  /  m )  =  1 )
1110oveq1d 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  /  m
)  +  ( 1  /  m ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
12 ax-1cn 9444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  CC )
148, 13, 8, 9divdird 10249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( m  /  m )  +  ( 1  /  m
) ) )
158, 9reccld 10204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
1615, 13addcomd 9675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  /  m
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
1711, 14, 163eqtr4rd 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  /  m
)  +  1 )  =  ( ( m  +  1 )  /  m ) )
1817fveq2d 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  ( log `  ( ( 1  /  m )  +  1 ) )  =  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )
197, 18oveq12d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( 1  /  m
)  +  1 ) ) )  =  ( ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) )  -  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) ) )
206subidd 9811 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) )  -  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  0 )
2119, 20eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( 1  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( 1  /  m
)  +  1 ) ) )  =  0 )
2221mpteq2ia 4475 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( 1  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( 1  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
23 fconstmpt 4983 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
24 nnuz 11000 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2524xpeq1i 4961 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )
2622, 23, 253eqtr2ri 2487 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( 1  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( 1  /  m )  +  1 ) ) ) )
27 1nn 10437 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
28 eldifn 3580 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( ZZ  \  NN )  ->  -.  1  e.  NN )
2927, 28mt2 179 . . . . . . 7  |-  -.  1  e.  ( ZZ  \  NN )
30 eldif 3439 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( 1  e.  CC  /\  -.  1  e.  ( ZZ  \  NN ) ) )
3112, 29, 30mpbir2an 911 . . . . . 6  |-  1  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
3326, 32lgamcvg 27177 . . . 4  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) )  ~~>  ( ( log _G `  1 )  +  ( log `  1 ) ) )
3433trud 1379 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  ( ( log _G `  1 )  +  ( log `  1
) )
35 log1 22160 . . . . 5  |-  ( log `  1 )  =  0
3635oveq2i 6204 . . . 4  |-  ( ( log _G `  1
)  +  ( log `  1 ) )  =  ( ( log _G `  1 )  +  0 )
37 lgamcl 27164 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  ->  ( log _G `  1 )  e.  CC )
3831, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log _G `  1 )  e.  CC
3938addid1i 9660 . . . 4  |-  ( ( log _G `  1
)  +  0 )  =  ( log _G `  1 )
4036, 39eqtri 2480 . . 3  |-  ( ( log _G `  1
)  +  ( log `  1 ) )  =  ( log _G `  1 )
4134, 40breqtri 4416 . 2  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  ( log _G `  1 )
42 1z 10780 . . 3  |-  1  e.  ZZ
43 serclim0 13166 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
4442, 43ax-mp 5 . 2  |-  seq 1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
45 climuni 13141 . 2  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) )  ~~>  ( log _G ` 
1 )  /\  seq 1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )  ->  ( log _G `  1 )  =  0 )
4641, 44, 45mp2an 672 1  |-  ( log _G `  1 )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    \ cdif 3426   {csn 3978   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451    X. cxp 4939   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391    - cmin 9699    / cdiv 10097   NNcn 10426   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965    seqcseq 11916    ~~> cli 13073   logclog 22132   log _Gclgam 27139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-tan 13468  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-cmp 19115  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468  df-ulm 21968  df-log 22134  df-cxp 22135  df-lgam 27142
This theorem is referenced by:  gam1  27188
  Copyright terms: Public domain W3C validator