Theorem lgam1 27187

Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
lgam1	|- ( log _G ` 1 ) = 0

Proof of Theorem lgam1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 10438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
2	1	nnrpd 11130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. RR+ )
3		nnrp 11104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
4	2, 3	rpdivcld 11148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( ( m + 1 ) / m ) e. RR+ )
5	4	relogcld 22198	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. RR )
6	5	recnd 9516	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. CC )
7	6	mulid2d 9508	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) = ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) )
8		nncn 10434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. CC )
9		nnne0 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
10	8, 9	dividd 10209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( m / m ) = 1 )
11	10	oveq1d 6208	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( m / m ) + ( 1 / m ) ) = ( 1 + ( 1 / m ) ) )
12		ax-1cn 9444	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> 1 e. CC )
14	8, 13, 8, 9	divdird 10249	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( m + 1 ) / m ) = ( ( m / m ) + ( 1 / m ) ) )
15	8, 9	reccld 10204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( 1 / m ) e. CC )
16	15, 13	addcomd 9675	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( 1 / m ) + 1 ) = ( 1 + ( 1 / m ) ) )
17	11, 14, 16	3eqtr4rd 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( ( 1 / m ) + 1 ) = ( ( m + 1 ) / m ) )
18	17	fveq2d 5796	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) = ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) )
19	7, 18	oveq12d 6211	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) = ( ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) - ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) )
20	6	subidd 9811	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) - ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) = 0 )
21	19, 20	eqtrd 2492	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) = 0 )
22	21	mpteq2ia 4475	. . . . . 6 |- ( m e. NN |-> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) ) = ( m e. NN |-> 0 )
23		fconstmpt 4983	. . . . . 6 |- ( NN X. { 0 } ) = ( m e. NN |-> 0 )
24		nnuz 11000	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	24	xpeq1i 4961	. . . . . 6 |- ( NN X. { 0 } ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } )
26	22, 23, 25	3eqtr2ri 2487	. . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) = ( m e. NN |-> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) )
27		1nn 10437	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
28		eldifn 3580	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ( ZZ \ NN ) -> -. 1 e. NN )
29	27, 28	mt2 179	. . . . . . 7 |- -. 1 e. ( ZZ \ NN )
30		eldif 3439	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) <-> ( 1 e. CC /\ -. 1 e. ( ZZ \ NN ) ) )
31	12, 29, 30	mpbir2an 911	. . . . . 6 |- 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) )
32	31	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
33	26, 32	lgamcvg 27177	. . . 4 |- ( T. -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) ) )
34	33	trud 1379	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) )
35		log1 22160	. . . . 5 |- ( log ` 1 ) = 0
36	35	oveq2i 6204	. . . 4 |- ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) ) = ( ( log _G ` 1 ) + 0 )
37		lgamcl 27164	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) -> ( log _G ` 1 ) e. CC )
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( log _G ` 1 ) e. CC
39	38	addid1i 9660	. . . 4 |- ( ( log _G ` 1 ) + 0 ) = ( log _G ` 1 )
40	36, 39	eqtri 2480	. . 3 |- ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) ) = ( log _G ` 1 )
41	34, 40	breqtri 4416	. 2 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( log _G ` 1 )
42		1z 10780	. . 3 |- 1 e. ZZ
43		serclim0 13166	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
44	42, 43	ax-mp 5	. 2 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0
45		climuni 13141	. 2 |- ( ( seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( log _G ` 1 ) /\ seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 ) -> ( log _G ` 1 ) = 0 )
46	41, 44, 45	mp2an 672	1 |- ( log _G ` 1 ) = 0

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1370   T. wtru 1371   e. wcel 1758   \ cdif 3426   {csn 3978   class class class wbr 4393   |-> cmpt 4451   X. cxp 4939   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   x. cmul 9391   - cmin 9699   / cdiv 10097   NNcn 10426   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   seqcseq 11916   ~~> cli 13073   logclog 22132   log _Gclgam 27139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-tan 13468  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-cmp 19115  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468  df-ulm 21968  df-log 22134  df-cxp 22135  df-lgam 27142

This theorem is referenced by:  gam1  27188