Theorem lgam1 28873

Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
lgam1	|- ( log _G ` 1 ) = 0

Proof of Theorem lgam1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 10543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
2	1	nnrpd 11257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. RR+ )
3		nnrp 11230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
4	2, 3	rpdivcld 11276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( ( m + 1 ) / m ) e. RR+ )
5	4	relogcld 23179	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. RR )
6	5	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. CC )
7	6	mulid2d 9603	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) = ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) )
8		nncn 10539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. CC )
9		nnne0 10564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
10	8, 9	dividd 10314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( m / m ) = 1 )
11	10	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( m / m ) + ( 1 / m ) ) = ( 1 + ( 1 / m ) ) )
12		1cnd 9601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> 1 e. CC )
13	8, 12, 8, 9	divdird 10354	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( m + 1 ) / m ) = ( ( m / m ) + ( 1 / m ) ) )
14	8, 9	reccld 10309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( 1 / m ) e. CC )
15	14, 12	addcomd 9771	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( 1 / m ) + 1 ) = ( 1 + ( 1 / m ) ) )
16	11, 13, 15	3eqtr4rd 2506	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( ( 1 / m ) + 1 ) = ( ( m + 1 ) / m ) )
17	16	fveq2d 5852	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) = ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) )
18	7, 17	oveq12d 6288	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) = ( ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) - ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) )
19	6	subidd 9910	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) - ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) = 0 )
20	18, 19	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) = 0 )
21	20	mpteq2ia 4521	. . . . . 6 |- ( m e. NN |-> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) ) = ( m e. NN |-> 0 )
22		fconstmpt 5032	. . . . . 6 |- ( NN X. { 0 } ) = ( m e. NN |-> 0 )
23		nnuz 11117	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
24	23	xpeq1i 5008	. . . . . 6 |- ( NN X. { 0 } ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } )
25	21, 22, 24	3eqtr2ri 2490	. . . . 5 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) = ( m e. NN |-> ( ( 1 x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( 1 / m ) + 1 ) ) ) )
26		ax-1cn 9539	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
27		1nn 10542	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
28		eldifn 3613	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ( ZZ \ NN ) -> -. 1 e. NN )
29	27, 28	mt2 179	. . . . . . 7 |- -. 1 e. ( ZZ \ NN )
30		eldif 3471	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) <-> ( 1 e. CC /\ -. 1 e. ( ZZ \ NN ) ) )
31	26, 29, 30	mpbir2an 918	. . . . . 6 |- 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) )
32	31	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
33	25, 32	lgamcvg 28863	. . . 4 |- ( T. -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) ) )
34	33	trud 1407	. . 3 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) )
35		log1 23142	. . . . 5 |- ( log ` 1 ) = 0
36	35	oveq2i 6281	. . . 4 |- ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) ) = ( ( log _G ` 1 ) + 0 )
37		lgamcl 28850	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) -> ( log _G ` 1 ) e. CC )
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( log _G ` 1 ) e. CC
39	38	addid1i 9756	. . . 4 |- ( ( log _G ` 1 ) + 0 ) = ( log _G ` 1 )
40	36, 39	eqtri 2483	. . 3 |- ( ( log _G ` 1 ) + ( log ` 1 ) ) = ( log _G ` 1 )
41	34, 40	breqtri 4462	. 2 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( log _G ` 1 )
42		1z 10890	. . 3 |- 1 e. ZZ
43		serclim0 13485	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
44	42, 43	ax-mp 5	. 2 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0
45		climuni 13460	. 2 |- ( ( seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> ( log _G ` 1 ) /\ seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 ) -> ( log _G ` 1 ) = 0 )
46	41, 44, 45	mp2an 670	1 |- ( log _G ` 1 ) = 0

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 1823   \ cdif 3458   {csn 4016   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   X. cxp 4986   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   - cmin 9796   / cdiv 10202   NNcn 10531   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   seqcseq 12092   ~~> cli 13392   logclog 23111   log _Gclgam 28825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-tan 13892  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440  df-ulm 22941  df-log 23113  df-cxp 23114  df-lgam 28828

This theorem is referenced by:  gam1  28874