Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvsass Structured version   Unicode version

Theorem lflvsass 32112
Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflass.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflass.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lflass.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
lflass.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lflass.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lflass.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lflass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
lflass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
lflass.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lflvsass  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) )  =  ( ( G  oF  .x.  ( V  X.  { X } ) )  oF  .x.  ( V  X.  { Y }
) ) )

Proof of Theorem lflvsass
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflass.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5861 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2488 . . . 4  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lflass.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lflass.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
7 lflass.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
8 lflass.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
9 lflass.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
107, 8, 1, 9lflf 32094 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
115, 6, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
12 lflass.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
13 fconst6g 5759 . . . 4  |-  ( X  e.  K  ->  ( V  X.  { X }
) : V --> K )
1412, 13syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  X.  { X } ) : V --> K )
15 lflass.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
16 fconst6g 5759 . . . 4  |-  ( Y  e.  K  ->  ( V  X.  { Y }
) : V --> K )
1715, 16syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  X.  { Y } ) : V --> K )
187lmodring 17842 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
195, 18syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
20 lflass.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
218, 20ringass 17537 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( (
x  .x.  y )  .x.  z )  =  ( x  .x.  ( y 
.x.  z ) ) )
2219, 21sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  -> 
( ( x  .x.  y )  .x.  z
)  =  ( x 
.x.  ( y  .x.  z ) ) )
234, 11, 14, 17, 22caofass 6558 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  oF  .x.  ( V  X.  { X } ) )  oF  .x.  ( V  X.  { Y }
) )  =  ( G  oF  .x.  ( ( V  X.  { X } )  oF  .x.  ( V  X.  { Y }
) ) ) )
244, 12, 15ofc12 6549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  { X } )  oF  .x.  ( V  X.  { Y }
) )  =  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) )
2524oveq2d 6296 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( ( V  X.  { X }
)  oF  .x.  ( V  X.  { Y } ) ) )  =  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) ) )
2623, 25eqtr2d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) )  =  ( ( G  oF  .x.  ( V  X.  { X } ) )  oF  .x.  ( V  X.  { Y }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   _Vcvv 3061   {csn 3974    X. cxp 4823   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    oFcof 6521   Basecbs 14843   .rcmulr 14912  Scalarcsca 14914   Ringcrg 17520   LModclmod 17834  LFnlclfn 32088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-plusg 14924  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mgp 17464  df-ring 17522  df-lmod 17836  df-lfl 32089
This theorem is referenced by:  ldualvsass  32172
  Copyright terms: Public domain W3C validator