Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvsass Structured version   Unicode version

Theorem lflvsass 33032
Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflass.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflass.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lflass.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
lflass.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lflass.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lflass.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lflass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
lflass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
lflass.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lflvsass  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) )  =  ( ( G  oF  .x.  ( V  X.  { X } ) )  oF  .x.  ( V  X.  { Y }
) ) )

Proof of Theorem lflvsass
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflass.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5799 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2535 . . . 4  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lflass.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lflass.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
7 lflass.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
8 lflass.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
9 lflass.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
107, 8, 1, 9lflf 33014 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
115, 6, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
12 lflass.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
13 fconst6g 5697 . . . 4  |-  ( X  e.  K  ->  ( V  X.  { X }
) : V --> K )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  X.  { X } ) : V --> K )
15 lflass.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
16 fconst6g 5697 . . . 4  |-  ( Y  e.  K  ->  ( V  X.  { Y }
) : V --> K )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  X.  { Y } ) : V --> K )
187lmodrng 17062 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
195, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
20 lflass.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
218, 20rngass 16767 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  K )
)  ->  ( (
x  .x.  y )  .x.  z )  =  ( x  .x.  ( y 
.x.  z ) ) )
2219, 21sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K  /\  z  e.  K ) )  -> 
( ( x  .x.  y )  .x.  z
)  =  ( x 
.x.  ( y  .x.  z ) ) )
234, 11, 14, 17, 22caofass 6454 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  oF  .x.  ( V  X.  { X } ) )  oF  .x.  ( V  X.  { Y }
) )  =  ( G  oF  .x.  ( ( V  X.  { X } )  oF  .x.  ( V  X.  { Y }
) ) ) )
244, 12, 15ofc12 6445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  { X } )  oF  .x.  ( V  X.  { Y }
) )  =  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) )
2524oveq2d 6206 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( ( V  X.  { X }
)  oF  .x.  ( V  X.  { Y } ) ) )  =  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) ) )
2623, 25eqtr2d 2493 1  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( V  X.  { ( X  .x.  Y ) } ) )  =  ( ( G  oF  .x.  ( V  X.  { X } ) )  oF  .x.  ( V  X.  { Y }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   {csn 3975    X. cxp 4936   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    oFcof 6418   Basecbs 14276   .rcmulr 14341  Scalarcsca 14343   Ringcrg 16751   LModclmod 17054  LFnlclfn 33008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-mnd 15517  df-mgp 16697  df-rng 16753  df-lmod 17056  df-lfl 33009
This theorem is referenced by:  ldualvsass  33092
  Copyright terms: Public domain W3C validator