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Theorem lflsub 32434
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 25382 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflsub.m  |-  M  =  ( -g `  D
)
lflsub.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflsub.a  |-  .-  =  ( -g `  W )
lflsub.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflsub  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( ( G `  X
) M ( G `
 Y ) ) )

Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 983 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp3l 1011 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 16936 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
543ad2ant1 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Ring )
6 rnggrp 16640 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Grp )
8 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
9 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
108, 9rngidcl 16655 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
115, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( 1r `  D )  e.  (
Base `  D )
)
12 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  D )  =  ( invg `  D )
138, 12grpinvcl 15576 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
) )
147, 11, 13syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( invg `  D ) `
 ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
) )
15 simp3r 1012 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
16 lflsub.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
17 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 16945 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )
191, 14, 15, 18syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )
20 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
2116, 20lmodcom 16971 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )
221, 2, 19, 21syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( X
( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `
 ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )
2322fveq2d 5692 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )  =  ( G `
 ( ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ) )
24 simp2 984 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
25 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
26 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
27 lflsub.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 32428 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V
) )  ->  ( G `  ( (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D ) ( G `  Y
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 X ) ) )
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1225 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) ) )
303, 8, 16, 27lflcl 32431 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  Y  e.  V )  ->  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )
31303adant3l 1209 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  Y )  e.  (
Base `  D )
)
328, 26, 9, 12, 5, 31rngnegl 16675 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) )  =  ( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) )
3332oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) ) )
34 rngabl 16664 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Abel )
355, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Abel )
368, 12grpinvcl 15576 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( invg `  D ) `  ( G `  Y )
)  e.  ( Base `  D ) )
377, 31, 36syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( invg `  D ) `
 ( G `  Y ) )  e.  ( Base `  D
) )
383, 8, 16, 27lflcl 32431 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
39383adant3r 1210 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
408, 25ablcom 16287 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Abel  /\  (
( invg `  D ) `  ( G `  Y )
)  e.  ( Base `  D )  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
4135, 37, 39, 40syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
4233, 41eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( G `  X
) ( +g  `  D
) ( ( invg `  D ) `
 ( G `  Y ) ) ) )
4323, 29, 423eqtrd 2477 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D
) ( ( invg `  D ) `
 ( G `  Y ) ) ) )
44 lflsub.a . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 16980 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
461, 2, 15, 45syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ) )
4746fveq2d 5692 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( G `  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
48 lflsub.m . . . 4  |-  M  =  ( -g `  D
)
498, 25, 12, 48grpsubval 15574 . . 3  |-  ( ( ( G `  X
)  e.  ( Base `  D )  /\  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  X
) M ( G `
 Y ) )  =  ( ( G `
 X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ) )
5039, 31, 49syl2anc 656 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( G `  X ) M ( G `  Y ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
5143, 47, 503eqtr4d 2483 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( ( G `  X
) M ( G `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   -gcsg 15409   Abelcabel 16271   1rcur 16593   Ringcrg 16635   LModclmod 16928  LFnlclfn 32424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-lfl 32425
This theorem is referenced by:  eqlkr  32466  lkrlsp  32469  lclkrlem2m  34886  hdmaplns1  35278
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