Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsub Structured version   Unicode version

Theorem lflsub 32715
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 25450 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflsub.m  |-  M  =  ( -g `  D
)
lflsub.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflsub.a  |-  .-  =  ( -g `  W )
lflsub.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflsub  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( ( G `  X
) M ( G `
 Y ) ) )

Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp3l 1016 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 16959 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
543ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Ring )
6 rnggrp 16653 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Grp )
8 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
9 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
108, 9rngidcl 16668 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
115, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( 1r `  D )  e.  (
Base `  D )
)
12 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  D )  =  ( invg `  D )
138, 12grpinvcl 15586 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
) )
147, 11, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( invg `  D ) `
 ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
) )
15 simp3r 1017 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
16 lflsub.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
17 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 16968 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )
191, 14, 15, 18syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )
20 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
2116, 20lmodcom 16994 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )
221, 2, 19, 21syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( X
( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `
 ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )
2322fveq2d 5698 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )  =  ( G `
 ( ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ) )
24 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
25 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
26 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
27 lflsub.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 32709 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V
) )  ->  ( G `  ( (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D ) ( G `  Y
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 X ) ) )
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) ) )
303, 8, 16, 27lflcl 32712 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  Y  e.  V )  ->  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )
31303adant3l 1214 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  Y )  e.  (
Base `  D )
)
328, 26, 9, 12, 5, 31rngnegl 16688 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) )  =  ( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) )
3332oveq1d 6109 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) ) )
34 rngabl 16677 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Abel )
355, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Abel )
368, 12grpinvcl 15586 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( invg `  D ) `  ( G `  Y )
)  e.  ( Base `  D ) )
377, 31, 36syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( invg `  D ) `
 ( G `  Y ) )  e.  ( Base `  D
) )
383, 8, 16, 27lflcl 32712 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
39383adant3r 1215 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
408, 25ablcom 16297 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Abel  /\  (
( invg `  D ) `  ( G `  Y )
)  e.  ( Base `  D )  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
4135, 37, 39, 40syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
4233, 41eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( G `  X
) ( +g  `  D
) ( ( invg `  D ) `
 ( G `  Y ) ) ) )
4323, 29, 423eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D
) ( ( invg `  D ) `
 ( G `  Y ) ) ) )
44 lflsub.a . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 17003 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
461, 2, 15, 45syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ) )
4746fveq2d 5698 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( G `  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
48 lflsub.m . . . 4  |-  M  =  ( -g `  D
)
498, 25, 12, 48grpsubval 15584 . . 3  |-  ( ( ( G `  X
)  e.  ( Base `  D )  /\  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  X
) M ( G `
 Y ) )  =  ( ( G `
 X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ) )
5039, 31, 49syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( G `  X ) M ( G `  Y ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
5143, 47, 503eqtr4d 2485 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( ( G `  X
) M ( G `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Basecbs 14177   +g cplusg 14241   .rcmulr 14242  Scalarcsca 14244   .scvsca 14245   Grpcgrp 15413   invgcminusg 15414   -gcsg 15416   Abelcabel 16281   1rcur 16606   Ringcrg 16648   LModclmod 16951  LFnlclfn 32705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-plusg 14254  df-0g 14383  df-mnd 15418  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-lmod 16953  df-lfl 32706
This theorem is referenced by:  eqlkr  32747  lkrlsp  32750  lclkrlem2m  35167  hdmaplns1  35559
  Copyright terms: Public domain W3C validator