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Theorem lflsub 34265
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 26785 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflsub.m  |-  M  =  ( -g `  D
)
lflsub.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflsub.a  |-  .-  =  ( -g `  W )
lflsub.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflsub  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( ( G `  X
) M ( G `
 Y ) ) )

Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp3l 1024 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
43lmodring 17391 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
543ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Ring )
6 ringgrp 17075 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Grp )
8 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
9 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
108, 9ringidcl 17091 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
115, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( 1r `  D )  e.  (
Base `  D )
)
12 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  D )  =  ( invg `  D )
138, 12grpinvcl 15967 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
) )
147, 11, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( invg `  D ) `
 ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
) )
15 simp3r 1025 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
16 lflsub.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
17 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 17400 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )
191, 14, 15, 18syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )
20 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
2116, 20lmodcom 17427 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  V )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )
221, 2, 19, 21syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( X
( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `
 ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )
2322fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )  =  ( G `
 ( ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ) )
24 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
25 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
26 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
27 lflsub.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 34259 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V
) )  ->  ( G `  ( (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D ) ( G `  Y
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 X ) ) )
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1240 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) )  =  ( ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) ) )
303, 8, 16, 27lflcl 34262 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  Y  e.  V )  ->  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )
31303adant3l 1224 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  Y )  e.  (
Base `  D )
)
328, 26, 9, 12, 5, 31ringnegl 17112 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) )  =  ( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) )
3332oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) ) )
34 ringabl 17100 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Abel )
355, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Abel )
368, 12grpinvcl 15967 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( invg `  D ) `  ( G `  Y )
)  e.  ( Base `  D ) )
377, 31, 36syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( invg `  D ) `
 ( G `  Y ) )  e.  ( Base `  D
) )
383, 8, 16, 27lflcl 34262 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
39383adant3r 1225 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
408, 25ablcom 16688 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Abel  /\  (
( invg `  D ) `  ( G `  Y )
)  e.  ( Base `  D )  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
4135, 37, 39, 40syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ( +g  `  D
) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
4233, 41eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .r `  D
) ( G `  Y ) ) ( +g  `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( G `  X
) ( +g  `  D
) ( ( invg `  D ) `
 ( G `  Y ) ) ) )
4323, 29, 423eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D
) ( ( invg `  D ) `
 ( G `  Y ) ) ) )
44 lflsub.a . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 17436 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  D ) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
461, 2, 15, 45syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ) )
4746fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( G `  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  D
) `  ( 1r `  D ) ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
48 lflsub.m . . . 4  |-  M  =  ( -g `  D
)
498, 25, 12, 48grpsubval 15965 . . 3  |-  ( ( ( G `  X
)  e.  ( Base `  D )  /\  ( G `  Y )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  X
) M ( G `
 Y ) )  =  ( ( G `
 X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D ) `  ( G `  Y )
) ) )
5039, 31, 49syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( G `  X ) M ( G `  Y ) )  =  ( ( G `  X ) ( +g  `  D ) ( ( invg `  D
) `  ( G `  Y ) ) ) )
5143, 47, 503eqtr4d 2518 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .-  Y
) )  =  ( ( G `  X
) M ( G `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   .rcmulr 14573  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926   -gcsg 15927   Abelcabl 16672   1rcur 17025   Ringcrg 17070   LModclmod 17383  LFnlclfn 34255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lfl 34256
This theorem is referenced by:  eqlkr  34297  lkrlsp  34300  lclkrlem2m  36717  hdmaplns1  37109
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