Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsc0N Structured version   Unicode version

Theorem lflsc0N 33898
Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsc0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflsc0.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflsc0.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflsc0.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lflsc0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lflsc0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lflsc0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
Assertion
Ref Expression
lflsc0N  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  oF  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lflsc0N
StepHypRef Expression
1 lflsc0.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5876 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2551 . . . 4  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lflsc0.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lflsc0.d . . . . . 6  |-  D  =  (Scalar `  W )
76lmodrng 17320 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Ring )
9 lflsc0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
10 lflsc0.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
119, 10rng0cl 17021 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
128, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
13 lflsc0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
144, 12, 13ofc12 6549 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  oF  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  { (  .0.  .x.  X ) } ) )
15 lflsc0.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  D )
169, 15, 10rnglz 17036 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  (  .0.  .x.  X )  =  .0.  )
178, 13, 16syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  X
)  =  .0.  )
1817sneqd 4039 . . 3  |-  ( ph  ->  { (  .0.  .x.  X ) }  =  {  .0.  } )
1918xpeq2d 5023 . 2  |-  ( ph  ->  ( V  X.  {
(  .0.  .x.  X
) } )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
2014, 19eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  oF  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027    X. cxp 4997   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522   Basecbs 14490   .rcmulr 14556  Scalarcsca 14558   0gc0g 14695   Ringcrg 17000   LModclmod 17312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mgp 16944  df-rng 17002  df-lmod 17314
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator