Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsc0N Structured version   Unicode version

Theorem lflsc0N 33051
Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsc0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflsc0.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflsc0.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflsc0.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lflsc0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lflsc0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lflsc0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
Assertion
Ref Expression
lflsc0N  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  oF  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lflsc0N
StepHypRef Expression
1 lflsc0.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5808 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2538 . . . 4  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lflsc0.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lflsc0.d . . . . . 6  |-  D  =  (Scalar `  W )
76lmodrng 17078 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Ring )
9 lflsc0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
10 lflsc0.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
119, 10rng0cl 16788 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
128, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
13 lflsc0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
144, 12, 13ofc12 6454 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  oF  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  { (  .0.  .x.  X ) } ) )
15 lflsc0.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  D )
169, 15, 10rnglz 16803 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  (  .0.  .x.  X )  =  .0.  )
178, 13, 16syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  X
)  =  .0.  )
1817sneqd 3996 . . 3  |-  ( ph  ->  { (  .0.  .x.  X ) }  =  {  .0.  } )
1918xpeq2d 4971 . 2  |-  ( ph  ->  ( V  X.  {
(  .0.  .x.  X
) } )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
2014, 19eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  oF  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3076   {csn 3984    X. cxp 4945   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    oFcof 6427   Basecbs 14291   .rcmulr 14357  Scalarcsca 14359   0gc0g 14496   Ringcrg 16767   LModclmod 17070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-plusg 14369  df-0g 14498  df-mnd 15533  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-mgp 16713  df-rng 16769  df-lmod 17072
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator