Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsc0N Structured version   Unicode version

Theorem lflsc0N 32568
Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsc0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflsc0.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflsc0.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflsc0.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lflsc0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lflsc0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lflsc0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
Assertion
Ref Expression
lflsc0N  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  oF  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lflsc0N
StepHypRef Expression
1 lflsc0.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5696 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2508 . . . 4  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lflsc0.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lflsc0.d . . . . . 6  |-  D  =  (Scalar `  W )
76lmodrng 16934 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Ring )
9 lflsc0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
10 lflsc0.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
119, 10rng0cl 16654 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
128, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
13 lflsc0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
144, 12, 13ofc12 6340 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  oF  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  { (  .0.  .x.  X ) } ) )
15 lflsc0.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  D )
169, 15, 10rnglz 16669 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  (  .0.  .x.  X )  =  .0.  )
178, 13, 16syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  X
)  =  .0.  )
1817sneqd 3884 . . 3  |-  ( ph  ->  { (  .0.  .x.  X ) }  =  {  .0.  } )
1918xpeq2d 4859 . 2  |-  ( ph  ->  ( V  X.  {
(  .0.  .x.  X
) } )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
2014, 19eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  oF  .x.  ( V  X.  { X }
) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   {csn 3872    X. cxp 4833   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   Basecbs 14166   .rcmulr 14231  Scalarcsca 14233   0gc0g 14370   Ringcrg 16633   LModclmod 16926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-mgp 16580  df-rng 16635  df-lmod 16928
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator