Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdcom Structured version   Unicode version

Theorem lfladdcom 35194
Description: Commutativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lfladdcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
lfladdcl.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lfladdcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lfladdcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lfladdcl.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lfladdcom  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .+  H )  =  ( H  oF  .+  G ) )

Proof of Theorem lfladdcom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5858 . . 3  |-  ( Base `  W )  e.  _V
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  W
)  e.  _V )
3 lfladdcl.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lfladdcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
5 lfladdcl.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
8 lfladdcl.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
95, 6, 7, 8lflf 35185 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
103, 4, 9syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
11 lfladdcl.h . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
125, 6, 7, 8lflf 35185 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F )  ->  H : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
133, 11, 12syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  H : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
145lmodring 17715 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
15 ringabl 17423 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
163, 14, 153syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
1716adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  R  e.  Abel )
18 simprl 754 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
19 simprr 755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  e.  ( Base `  R
) )
20 lfladdcl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
216, 20ablcom 17014 . . 3  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
2217, 18, 19, 21syl3anc 1226 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
232, 10, 13, 22caofcom 6545 1  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .+  H )  =  ( H  oF  .+  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511   Basecbs 14716   +g cplusg 14784  Scalarcsca 14787   Abelcabl 16998   Ringcrg 17393   LModclmod 17707  LFnlclfn 35179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-lfl 35180
This theorem is referenced by:  ldualvaddcom  35262
  Copyright terms: Public domain W3C validator