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Theorem lfladdcl 32349
Description: Closure of addition of two functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lfladdcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
lfladdcl.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lfladdcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lfladdcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lfladdcl.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lfladdcl  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .+  H )  e.  F )

Proof of Theorem lfladdcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfladdcl.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
21adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  W  e.  LMod )
3 simprl 762 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
4 simprr 764 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  e.  ( Base `  R
) )
5 lfladdcl.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 lfladdcl.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
85, 6, 7lmodacl 18037 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  (
Base `  R )
)
92, 3, 4, 8syl3anc 1264 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  ( Base `  R
) )
10 lfladdcl.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
11 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
12 lfladdcl.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
135, 6, 11, 12lflf 32341 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
141, 10, 13syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
15 lfladdcl.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
165, 6, 11, 12lflf 32341 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F )  ->  H : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
171, 15, 16syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( Base `  W ) --> ( Base `  R ) )
18 fvex 5891 . . . 4  |-  ( Base `  W )  e.  _V
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  W
)  e.  _V )
20 inidm 3677 . . 3  |-  ( (
Base `  W )  i^i  ( Base `  W
) )  =  (
Base `  W )
219, 14, 17, 19, 19, 20off 6560 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .+  H ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
) )
221adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  W  e.  LMod )
23 simpr1 1011 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
24 simpr2 1012 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
25 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
2611, 5, 25, 6lmodvscl 18043 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
2722, 23, 24, 26syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
28 simpr3 1013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  W )
)
29 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
3011, 29lmodvacl 18040 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
)  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )
3122, 27, 28, 30syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )
32 ffn 5746 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  ->  G  Fn  ( Base `  W )
)
3314, 32syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( Base `  W ) )
34 ffn 5746 . . . . . . 7  |-  ( H : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  ->  H  Fn  ( Base `  W )
)
3517, 34syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( Base `  W ) )
36 eqidd 2430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )
37 eqidd 2430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )
3833, 35, 19, 19, 20, 36, 37ofval 6554 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( G  oF  .+  H ) `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) ) )
3931, 38syldan 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  oF  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( G `
 ( ( x ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z ) )  .+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) ) )
40 eqidd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( G `  y )  =  ( G `  y ) )
41 eqidd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( H `  y )  =  ( H `  y ) )
4233, 35, 19, 19, 20, 40, 41ofval 6554 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( G  oF  .+  H
) `  y )  =  ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )
4324, 42syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  oF  .+  H
) `  y )  =  ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )
4443oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) ( ( G  oF  .+  H
) `  y )
)  =  ( x ( .r `  R
) ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) ) )
45 eqidd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
46 eqidd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( H `  z )  =  ( H `  z ) )
4733, 35, 19, 19, 20, 45, 46ofval 6554 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( G  oF  .+  H
) `  z )  =  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )
4828, 47syldan 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  oF  .+  H
) `  z )  =  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )
4944, 48oveq12d 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) ( ( G  oF  .+  H ) `  y
) )  .+  (
( G  oF  .+  H ) `  z ) )  =  ( ( x ( .r `  R ) ( ( G `  y )  .+  ( H `  y )
) )  .+  (
( G `  z
)  .+  ( H `  z ) ) ) )
5010adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  G  e.  F )
515, 7, 11, 29, 12lfladd 32344 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( G `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( G `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `  z ) ) )
5222, 50, 27, 28, 51syl112anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( G `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( G `  z ) ) )
5315adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  H  e.  F )
545, 7, 11, 29, 12lfladd 32344 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
( x ( .s
`  W ) y )  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( H `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `  z ) ) )
5522, 53, 27, 28, 54syl112anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( H `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) )
5652, 55oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  .+  ( G `  z )
)  .+  ( ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) ) )
575lmodring 18034 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
5822, 57syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  R  e.  Ring )
59 ringcmn 17746 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6058, 59syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  R  e. CMnd )
615, 6, 11, 12lflcl 32342 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
6222, 50, 27, 61syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  e.  (
Base `  R )
)
635, 6, 11, 12lflcl 32342 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )
6422, 50, 28, 63syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  (
Base `  R )
)
655, 6, 11, 12lflcl 32342 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x ( .s `  W ) y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) )  e.  ( Base `  R
) )
6622, 53, 27, 65syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  e.  (
Base `  R )
)
675, 6, 11, 12lflcl 32342 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  z )  e.  ( Base `  R
) )
6822, 53, 28, 67syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  z )  e.  (
Base `  R )
)
696, 7cmn4 17384 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )  /\  (
( H `  (
x ( .s `  W ) y ) )  e.  ( Base `  R )  /\  ( H `  z )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( G `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `  z ) )  .+  ( ( H `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  .+  ( ( G `  z )  .+  ( H `  z )
) ) )
7060, 62, 64, 66, 68, 69syl122anc 1273 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( G `
 z ) ) 
.+  ( ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  .+  ( H `  ( x
( .s `  W
) y ) ) )  .+  ( ( G `  z ) 
.+  ( H `  z ) ) ) )
71 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
725, 6, 71, 11, 25, 12lflmul 32346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R
) ( G `  y ) ) )
7322, 50, 23, 24, 72syl112anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R ) ( G `
 y ) ) )
745, 6, 71, 11, 25, 12lflmul 32346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( H `  (
x ( .s `  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R
) ( H `  y ) ) )
7522, 53, 23, 24, 74syl112anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) )  =  ( x ( .r `  R ) ( H `
 y ) ) )
7673, 75oveq12d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  =  ( ( x ( .r `  R ) ( G `  y
) )  .+  (
x ( .r `  R ) ( H `
 y ) ) ) )
775, 6, 11, 12lflcl 32342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
) )
7822, 50, 24, 77syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  (
Base `  R )
)
795, 6, 11, 12lflcl 32342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  H  e.  F  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( H `  y )  e.  ( Base `  R
) )
8022, 53, 24, 79syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( H `  y )  e.  (
Base `  R )
)
816, 7, 71ringdi 17734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( H `  y )  e.  (
Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  R ) ( ( G `  y ) 
.+  ( H `  y ) ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( G `  y ) )  .+  ( x ( .r
`  R ) ( H `  y ) ) ) )
8258, 23, 78, 80, 81syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) ( ( G `
 y )  .+  ( H `  y ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( G `  y ) )  .+  ( x ( .r `  R
) ( H `  y ) ) ) )
8376, 82eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( x
( .s `  W
) y ) ) 
.+  ( H `  ( x ( .s
`  W ) y ) ) )  =  ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) )
8483oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( G `  (
x ( .s `  W ) y ) )  .+  ( H `
 ( x ( .s `  W ) y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) ) )
8556, 70, 843eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) 
.+  ( H `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( ( x ( .r
`  R ) ( ( G `  y
)  .+  ( H `  y ) ) ) 
.+  ( ( G `
 z )  .+  ( H `  z ) ) ) )
8649, 85eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) ( ( G  oF  .+  H ) `  y
) )  .+  (
( G  oF  .+  H ) `  z ) )  =  ( ( G `  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  .+  ( H `
 ( ( x ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z ) ) ) )
8739, 86eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  W )  /\  z  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( ( G  oF  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  oF  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  oF  .+  H
) `  z )
) )
8887ralrimivvva 2854 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. z  e.  ( Base `  W ) ( ( G  oF  .+  H ) `  (
( x ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  oF  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  oF  .+  H
) `  z )
) )
8911, 29, 5, 25, 6, 7, 71, 12islfl 32338 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ( G  oF  .+  H )  e.  F  <->  ( ( G  oF  .+  H ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  R
)  /\  A. x  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( Base `  W
) A. z  e.  ( Base `  W
) ( ( G  oF  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  oF  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  oF  .+  H
) `  z )
) ) ) )
901, 89syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  oF  .+  H )  e.  F  <->  ( ( G  oF  .+  H
) : ( Base `  W ) --> ( Base `  R )  /\  A. x  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  W
) A. z  e.  ( Base `  W
) ( ( G  oF  .+  H
) `  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R
) ( ( G  oF  .+  H
) `  y )
)  .+  ( ( G  oF  .+  H
) `  z )
) ) ) )
9121, 88, 90mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .+  H )  e.  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153  Scalarcsca 15155   .scvsca 15156  CMndccmn 17365   Ringcrg 17715   LModclmod 18026  LFnlclfn 32335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-lmod 18028  df-lfl 32336
This theorem is referenced by:  ldualvaddcl  32408
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