Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd Structured version   Unicode version

Theorem lfladd 32708
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 25445 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfladd.p  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
lfladd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lfladd.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lfladd.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lfladd  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( G `  X
)  .+^  ( G `  Y ) ) )

Proof of Theorem lfladd
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 989 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
3 lfladd.d . . . . 5  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
5 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
63, 4, 5lmod1cl 16973 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
763ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( 1r `  D )  e.  (
Base `  D )
)
8 simp3l 1016 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
9 simp3r 1017 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
10 lfladd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 lfladd.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
12 eqid 2441 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
13 lfladd.p . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
14 eqid 2441 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
15 lfladd.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
1610, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15lfli 32703 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( 1r `  D
)  e.  ( Base `  D )  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) X )  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) ) 
.+^  ( G `  Y ) ) )
171, 2, 7, 8, 9, 16syl113anc 1230 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( 1r
`  D ) ( .s `  W ) X )  .+  Y
) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) )  .+^  ( G `  Y ) ) )
1810, 3, 12, 5lmodvs1 16974 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) X )  =  X )
191, 8, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .s `  W ) X )  =  X )
2019oveq1d 6104 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) X ) 
.+  Y )  =  ( X  .+  Y
) )
2120fveq2d 5693 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( 1r
`  D ) ( .s `  W ) X )  .+  Y
) )  =  ( G `  ( X 
.+  Y ) ) )
223lmodrng 16954 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
23223ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Ring )
243, 4, 10, 15lflcl 32706 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
25243adant3r 1215 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
264, 14, 5rnglidm 16666 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) )  =  ( G `  X ) )
2723, 25, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .r `  D ) ( G `  X
) )  =  ( G `  X ) )
2827oveq1d 6104 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) ) 
.+^  ( G `  Y ) )  =  ( ( G `  X )  .+^  ( G `
 Y ) ) )
2917, 21, 283eqtr3d 2481 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( G `  X
)  .+^  ( G `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   .rcmulr 14237  Scalarcsca 14239   .scvsca 14240   1rcur 16601   Ringcrg 16643   LModclmod 16946  LFnlclfn 32699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-plusg 14249  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-lmod 16948  df-lfl 32700
This theorem is referenced by:  lfladdcl  32713  hdmaplna1  35552
  Copyright terms: Public domain W3C validator