Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd Structured version   Unicode version

Theorem lfladd 34892
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 27088 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfladd.p  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
lfladd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lfladd.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lfladd.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lfladd  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( G `  X
)  .+^  ( G `  Y ) ) )

Proof of Theorem lfladd
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 997 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
3 lfladd.d . . . . 5  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
5 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
63, 4, 5lmod1cl 17665 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
763ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( 1r `  D )  e.  (
Base `  D )
)
8 simp3l 1024 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
9 simp3r 1025 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  Y  e.  V )
10 lfladd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 lfladd.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
12 eqid 2457 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
13 lfladd.p . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
14 eqid 2457 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
15 lfladd.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
1610, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15lfli 34887 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( 1r `  D
)  e.  ( Base `  D )  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) X )  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) ) 
.+^  ( G `  Y ) ) )
171, 2, 7, 8, 9, 16syl113anc 1240 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( 1r
`  D ) ( .s `  W ) X )  .+  Y
) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) )  .+^  ( G `  Y ) ) )
1810, 3, 12, 5lmodvs1 17666 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) X )  =  X )
191, 8, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .s `  W ) X )  =  X )
2019oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) X ) 
.+  Y )  =  ( X  .+  Y
) )
2120fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( ( 1r
`  D ) ( .s `  W ) X )  .+  Y
) )  =  ( G `  ( X 
.+  Y ) ) )
223lmodring 17646 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
23223ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  D  e.  Ring )
243, 4, 10, 15lflcl 34890 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
25243adant3r 1225 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
264, 14, 5ringlidm 17348 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) )  =  ( G `  X ) )
2723, 25, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .r `  D ) ( G `  X
) )  =  ( G `  X ) )
2827oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 X ) ) 
.+^  ( G `  Y ) )  =  ( ( G `  X )  .+^  ( G `
 Y ) ) )
2917, 21, 283eqtr3d 2506 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( G `  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( G `  X
)  .+^  ( G `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   .rcmulr 14712  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   1rcur 17279   Ringcrg 17324   LModclmod 17638  LFnlclfn 34883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640  df-lfl 34884
This theorem is referenced by:  lfladdcl  34897  hdmaplna1  37738
  Copyright terms: Public domain W3C validator