Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1sc Structured version   Unicode version

Theorem lfl1sc 32359
Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1sc.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lfl1sc.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfl1sc.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lfl1sc.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lfl1sc.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lfl1sc.i  |-  .1.  =  ( 1r `  D )
lfl1sc.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lfl1sc.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lfl1sc  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( V  X.  {  .1.  } ) )  =  G )

Proof of Theorem lfl1sc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl1sc.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5891 . . . 4  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2513 . . 3  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lfl1sc.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lfl1sc.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
7 lfl1sc.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
8 lfl1sc.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
9 lfl1sc.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
107, 8, 1, 9lflf 32338 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
115, 6, 10syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
12 lfl1sc.i . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  D )
13 fvex 5891 . . . 4  |-  ( 1r
`  D )  e. 
_V
1412, 13eqeltri 2513 . . 3  |-  .1.  e.  _V
1514a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  .1.  e.  _V )
167lmodring 18034 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
175, 16syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Ring )
18 lfl1sc.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  D )
198, 18, 12ringridm 17740 . . 3  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  k  e.  K )  ->  (
k  .x.  .1.  )  =  k )
2017, 19sylan 473 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  K )  ->  (
k  .x.  .1.  )  =  k )
214, 11, 15, 20caofid0r 6574 1  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( V  X.  {  .1.  } ) )  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   {csn 4002    X. cxp 4852   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543   Basecbs 15084   .rcmulr 15153  Scalarcsca 15155   1rcur 17670   Ringcrg 17715   LModclmod 18026  LFnlclfn 32332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-lmod 18028  df-lfl 32333
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  32427
  Copyright terms: Public domain W3C validator