Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1sc Structured version   Unicode version

Theorem lfl1sc 34098
Description: The (right vector space) scalar product of a functional with one is the functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1sc.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lfl1sc.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfl1sc.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lfl1sc.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lfl1sc.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lfl1sc.i  |-  .1.  =  ( 1r `  D )
lfl1sc.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lfl1sc.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lfl1sc  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( V  X.  {  .1.  } ) )  =  G )

Proof of Theorem lfl1sc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl1sc.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5876 . . . 4  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2551 . . 3  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lfl1sc.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lfl1sc.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
7 lfl1sc.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
8 lfl1sc.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
9 lfl1sc.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
107, 8, 1, 9lflf 34077 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
115, 6, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
12 lfl1sc.i . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  D )
13 fvex 5876 . . . 4  |-  ( 1r
`  D )  e. 
_V
1412, 13eqeltri 2551 . . 3  |-  .1.  e.  _V
1514a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  .1.  e.  _V )
167lmodrng 17332 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
175, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Ring )
18 lfl1sc.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  D )
198, 18, 12rngridm 17036 . . 3  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  k  e.  K )  ->  (
k  .x.  .1.  )  =  k )
2017, 19sylan 471 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  K )  ->  (
k  .x.  .1.  )  =  k )
214, 11, 15, 20caofid0r 6554 1  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( V  X.  {  .1.  } ) )  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027    X. cxp 4997   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    oFcof 6523   Basecbs 14493   .rcmulr 14559  Scalarcsca 14561   1rcur 16967   Ringcrg 17012   LModclmod 17324  LFnlclfn 34071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-plusg 14571  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-lmod 17326  df-lfl 34072
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  34166
  Copyright terms: Public domain W3C validator