Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0sc Structured version   Unicode version

Theorem lfl0sc 33888
 Description: The (right vector space) scalar product of a functional with zero is the zero functional. Note that the first occurrence of represents the zero scalar, and the second is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0sc.v
lfl0sc.d Scalar
lfl0sc.f LFnl
lfl0sc.k
lfl0sc.t
lfl0sc.o
lfl0sc.w
lfl0sc.g
Assertion
Ref Expression
lfl0sc

Proof of Theorem lfl0sc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0sc.v . . . 4
2 fvex 5875 . . . 4
31, 2eqeltri 2551 . . 3
43a1i 11 . 2
5 lfl0sc.w . . 3
6 lfl0sc.g . . 3
7 lfl0sc.d . . . 4 Scalar
8 lfl0sc.k . . . 4
9 lfl0sc.f . . . 4 LFnl
107, 8, 1, 9lflf 33869 . . 3
115, 6, 10syl2anc 661 . 2
127lmodrng 17315 . . . 4
135, 12syl 16 . . 3
14 lfl0sc.o . . . 4
158, 14rng0cl 17016 . . 3
1613, 15syl 16 . 2
17 lfl0sc.t . . . 4
188, 17, 14rngrz 17032 . . 3
1913, 18sylan 471 . 2
204, 11, 16, 16, 19caofid1 6553 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113  csn 4027   cxp 4997  wf 5583  cfv 5587  (class class class)co 6283   cof 6521  cbs 14489  cmulr 14555  Scalarcsca 14557  c0g 14694  crg 16995  clmod 17307  LFnlclfn 33863 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-mgp 16941  df-rng 16997  df-lmod 17309  df-lfl 33864 This theorem is referenced by:  lkrscss  33904  lfl1dim  33927  lfl1dim2N  33928
 Copyright terms: Public domain W3C validator