Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0sc Structured version   Unicode version

Theorem lfl0sc 32727
Description: The (right vector space) scalar product of a functional with zero is the zero functional. Note that the first occurrence of  ( V  X.  {  .0.  }
) represents the zero scalar, and the second is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0sc.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lfl0sc.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfl0sc.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lfl0sc.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lfl0sc.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lfl0sc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lfl0sc.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lfl0sc.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lfl0sc  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lfl0sc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0sc.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5701 . . . 4  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2513 . . 3  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lfl0sc.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lfl0sc.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
7 lfl0sc.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
8 lfl0sc.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
9 lfl0sc.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
107, 8, 1, 9lflf 32708 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
115, 6, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
127lmodrng 16956 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
135, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Ring )
14 lfl0sc.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
158, 14rng0cl 16666 . . 3  |-  ( D  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
1613, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
17 lfl0sc.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  D )
188, 17, 14rngrz 16682 . . 3  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  k  e.  K )  ->  (
k  .x.  .0.  )  =  .0.  )
1913, 18sylan 471 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  K )  ->  (
k  .x.  .0.  )  =  .0.  )
204, 11, 16, 16, 19caofid1 6350 1  |-  ( ph  ->  ( G  oF  .x.  ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   {csn 3877    X. cxp 4838   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318   Basecbs 14174   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   0gc0g 14378   Ringcrg 16645   LModclmod 16948  LFnlclfn 32702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-mgp 16592  df-rng 16647  df-lmod 16950  df-lfl 32703
This theorem is referenced by:  lkrscss  32743  lfl1dim  32766  lfl1dim2N  32767
  Copyright terms: Public domain W3C validator