Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0 Structured version   Unicode version

Theorem lfl0 32707
Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 25444 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfl0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lfl0.z  |-  Z  =  ( 0g `  W
)
lfl0.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lfl0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  .0.  )

Proof of Theorem lfl0
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  W  e.  LMod )
2 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G  e.  F )
3 lfl0.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
5 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
63, 4, 5lmod1cl 16973 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
) )
8 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 lfl0.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  W
)
108, 9lmod0vcl 16975 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  W
) )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  Z  e.  ( Base `  W
) )
12 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
13 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
14 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
15 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
16 lfl0.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
178, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16lfli 32703 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( 1r `  D
)  e.  ( Base `  D )  /\  Z  e.  ( Base `  W
)  /\  Z  e.  ( Base `  W )
) )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r `  D
) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
181, 2, 7, 11, 11, 17syl113anc 1230 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r `  D
) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
198, 3, 13, 4lmodvscl 16963 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
)  /\  Z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .s `  W ) Z )  e.  (
Base `  W )
)
201, 7, 11, 19syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  e.  ( Base `  W
) )
218, 12, 9lmod0vrid 16977 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  ( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) )
2220, 21syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  ( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) )
238, 3, 13, 5lmodvs1 16974 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  =  Z )
2411, 23syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  =  Z )
2522, 24eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  Z )
2625fveq2d 5693 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( G `  Z ) )
273lmodrng 16954 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
2827adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  D  e.  Ring )
293, 4, 8, 16lflcl 32706 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  Z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )
3011, 29mpd3an3 1315 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )
314, 15, 5rnglidm 16666 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 Z ) )  =  ( G `  Z ) )
3228, 30, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 Z ) )  =  ( G `  Z ) )
3332oveq1d 6104 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .r
`  D ) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( ( G `  Z ) ( +g  `  D ) ( G `
 Z ) ) )
3418, 26, 333eqtr3d 2481 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( G `
 Z ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
3534oveq1d 6104 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( ( ( G `
 Z ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) ( -g `  D ) ( G `
 Z ) ) )
36 rnggrp 16648 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
3728, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  D  e.  Grp )
38 lfl0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
39 eqid 2441 . . . 4  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
404, 38, 39grpsubid 15608 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  .0.  )
4137, 30, 40syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  .0.  )
424, 14, 39grppncan 15614 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( G `  Z )  e.  (
Base `  D )
)  ->  ( (
( G `  Z
) ( +g  `  D
) ( G `  Z ) ) (
-g `  D )
( G `  Z
) )  =  ( G `  Z ) )
4337, 30, 30, 42syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( G `  Z ) ( +g  `  D ) ( G `
 Z ) ) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( G `  Z
) )
4435, 41, 433eqtr3rd 2482 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   .rcmulr 14237  Scalarcsca 14239   .scvsca 14240   0gc0g 14376   Grpcgrp 15408   -gcsg 15411   1rcur 16601   Ringcrg 16643   LModclmod 16946  LFnlclfn 32699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-plusg 14249  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-lmod 16948  df-lfl 32700
This theorem is referenced by:  lflmul  32710  lkrlss  32737  dochkr1  35120  lcfrlem28  35212  hdmapip0  35560
  Copyright terms: Public domain W3C validator