Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0 Structured version   Unicode version

Theorem lfl0 34891
Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 27087 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lfl0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lfl0.z  |-  Z  =  ( 0g `  W
)
lfl0.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lfl0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  .0.  )

Proof of Theorem lfl0
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  W  e.  LMod )
2 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G  e.  F )
3 lfl0.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
5 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
63, 4, 5lmod1cl 17665 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  D )  e.  ( Base `  D
) )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
) )
8 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
9 lfl0.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  W
)
108, 9lmod0vcl 17667 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  W
) )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  Z  e.  ( Base `  W
) )
12 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
13 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
14 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
15 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
16 lfl0.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
178, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16lfli 34887 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( 1r `  D
)  e.  ( Base `  D )  /\  Z  e.  ( Base `  W
)  /\  Z  e.  ( Base `  W )
) )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r `  D
) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
181, 2, 7, 11, 11, 17syl113anc 1240 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( ( ( 1r `  D ) ( .r `  D
) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
198, 3, 13, 4lmodvscl 17655 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  D )  e.  ( Base `  D
)  /\  Z  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( ( 1r `  D ) ( .s `  W ) Z )  e.  (
Base `  W )
)
201, 7, 11, 19syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  e.  ( Base `  W
) )
218, 12, 9lmod0vrid 17669 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  ( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) )
2220, 21syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  ( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) )
238, 3, 13, 5lmodvs1 17666 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  =  Z )
2411, 23syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z )  =  Z )
2522, 24eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .s
`  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z )  =  Z )
2625fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( (
( 1r `  D
) ( .s `  W ) Z ) ( +g  `  W
) Z ) )  =  ( G `  Z ) )
273lmodring 17646 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
2827adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  D  e.  Ring )
293, 4, 8, 16lflcl 34890 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  Z  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )
3011, 29mpd3an3 1325 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )
314, 15, 5ringlidm 17348 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 Z ) )  =  ( G `  Z ) )
3228, 30, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( 1r `  D
) ( .r `  D ) ( G `
 Z ) )  =  ( G `  Z ) )
3332oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( 1r `  D ) ( .r
`  D ) ( G `  Z ) ) ( +g  `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( ( G `  Z ) ( +g  `  D ) ( G `
 Z ) ) )
3418, 26, 333eqtr3d 2506 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( G `
 Z ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) )
3534oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( ( ( G `
 Z ) ( +g  `  D ) ( G `  Z
) ) ( -g `  D ) ( G `
 Z ) ) )
36 ringgrp 17329 . . . 4  |-  ( D  e.  Ring  ->  D  e. 
Grp )
3728, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  D  e.  Grp )
38 lfl0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
39 eqid 2457 . . . 4  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
404, 38, 39grpsubid 16248 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  .0.  )
4137, 30, 40syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( G `  Z
) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  .0.  )
424, 14, 39grppncan 16255 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  Z )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( G `  Z )  e.  (
Base `  D )
)  ->  ( (
( G `  Z
) ( +g  `  D
) ( G `  Z ) ) (
-g `  D )
( G `  Z
) )  =  ( G `  Z ) )
4337, 30, 30, 42syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( ( G `  Z ) ( +g  `  D ) ( G `
 Z ) ) ( -g `  D
) ( G `  Z ) )  =  ( G `  Z
) )
4435, 41, 433eqtr3rd 2507 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  Z )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   .rcmulr 14712  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   0gc0g 14856   Grpcgrp 16179   -gcsg 16181   1rcur 17279   Ringcrg 17324   LModclmod 17638  LFnlclfn 34883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640  df-lfl 34884
This theorem is referenced by:  lflmul  34894  lkrlss  34921  dochkr1  37306  lcfrlem28  37398  hdmapip0  37746
  Copyright terms: Public domain W3C validator