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Theorem lfinun 20540
Description: Adding a finite set preserves locally finite covers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lfinun  |-  ( ( A  e.  ( LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin  /\  U. B  C_ 
U. J )  -> 
( A  u.  B
)  e.  ( LocFin `  J ) )

Proof of Theorem lfinun
Dummy variables  n  s  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 locfintop 20536 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  ->  J  e.  Top )
21ad2antrr 732 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J
)  ->  J  e.  Top )
3 ssequn2 3607 . . . . . . . 8  |-  ( U. B  C_  U. J  <->  ( U. J  u.  U. B )  =  U. J )
43biimpi 198 . . . . . . 7  |-  ( U. B  C_  U. J  -> 
( U. J  u.  U. B )  =  U. J )
54adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J
)  ->  ( U. J  u.  U. B )  =  U. J )
6 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
7 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  U. A  =  U. A
86, 7locfinbas 20537 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  ->  U. J  = 
U. A )
98ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J
)  ->  U. J  = 
U. A )
109uneq1d 3587 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J
)  ->  ( U. J  u.  U. B )  =  ( U. A  u.  U. B ) )
115, 10eqtr3d 2487 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J
)  ->  U. J  =  ( U. A  u.  U. B ) )
12 uniun 4217 . . . . 5  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )
1311, 12syl6eqr 2503 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J
)  ->  U. J  = 
U. ( A  u.  B ) )
146locfinnei 20538 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( LocFin `  J )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
1514adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  x  e.  U. J
)  ->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
1615adantlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
17 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )
18 rabfi 7796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  Fin  ->  { s  e.  B  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )
1918ad2antlr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  { s  e.  B  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )
20 rabun2 3722 . . . . . . . . . . . 12  |-  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  =  ( { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  u.  { s  e.  B  | 
( s  i^i  n
)  =/=  (/) } )
21 unfi 7838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin  /\  { s  e.  B  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  u.  { s  e.  B  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) } )  e. 
Fin )
2220, 21syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin  /\  { s  e.  B  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )
2317, 19, 22syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )
2423ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  { s  e.  ( A  u.  B
)  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )
)
2524ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin  ->  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
2625anim2d 569 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  ( x  e.  n  /\  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
2726reximdv 2861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
2816, 27mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
2928ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J
)  ->  A. x  e.  U. J E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
302, 13, 293jca 1188 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin )  /\  U. B  C_  U. J
)  ->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. ( A  u.  B )  /\  A. x  e.  U. J E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
31303impa 1203 . 2  |-  ( ( A  e.  ( LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin  /\  U. B  C_ 
U. J )  -> 
( J  e.  Top  /\ 
U. J  =  U. ( A  u.  B
)  /\  A. x  e.  U. J E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
32 eqid 2451 . . 3  |-  U. ( A  u.  B )  =  U. ( A  u.  B )
336, 32islocfin 20532 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  U. J  = 
U. ( A  u.  B )  /\  A. x  e.  U. J E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  ( A  u.  B )  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
3431, 33sylibr 216 1  |-  ( ( A  e.  ( LocFin `  J )  /\  B  e.  Fin  /\  U. B  C_ 
U. J )  -> 
( A  u.  B
)  e.  ( LocFin `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   U.cuni 4198   ` cfv 5582   Fincfn 7569   Topctop 19917   LocFinclocfin 20519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-top 19921  df-locfin 20522
This theorem is referenced by:  locfinref  28668
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