Theorem lfinpfin 15513

Description: A locally finite cover is point-finite.

Assertion

Ref	Expression
lfinpfin	|- ((A e. B /\ <.J, A>. e. LocFin) -> A e. PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 878	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) -> U.J = U.A)
2	1	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) -> (x e. U.J <-> x e. U.A))
3	2	biimpar 461	. . . . . . . . 9 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ x e. U.A) -> x e. U.J)
4		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. (s i^i n) <-> (x e. s /\ x e. n))
5		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) /\ (s e. A /\ x e. s)) -> x e. s)
6		simpl2 880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> J e. Top)
7		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- x e. _V
8	7	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> x e. _V)
9		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> n e. ((nei` J)` {x}))
10		elnei 9001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((J e. Top /\ x e. _V /\ n e. ((nei` J)` {x})) -> x e. n)
11	6, 8, 9, 10	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> x e. n)
12	11	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) /\ (s e. A /\ x e. s)) -> x e. n)
13	4, 5, 12	sylanbrc 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) /\ (s e. A /\ x e. s)) -> x e. (s i^i n))
14		ne0i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. (s i^i n) -> (s i^i n) =/= (/))
15	13, 14	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) /\ (s e. A /\ x e. s)) -> (s i^i n) =/= (/))
16	15	exp32 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> (s e. A -> (x e. s -> (s i^i n) =/= (/))))
17	16	r19.21aiv 2175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> A.s e. A (x e. s -> (s i^i n) =/= (/)))
18		ss2rab 2683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ({s e. A | x e. s} C_ {s e. A | (s i^i n) =/= (/)} <-> A.s e. A (x e. s -> (s i^i n) =/= (/)))
19	17, 18	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> {s e. A | x e. s} C_ {s e. A | (s i^i n) =/= (/)})
20		ssfi 5630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (({s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin /\ {s e. A | x e. s} C_ {s e. A | (s i^i n) =/= (/)}) -> {s e. A | x e. s} e. Fin)
21	20	expcom 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ({s e. A | x e. s} C_ {s e. A | (s i^i n) =/= (/)} -> ({s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin -> {s e. A | x e. s} e. Fin))
22	19, 21	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ (x e. U.A /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> ({s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin -> {s e. A | x e. s} e. Fin))
23	22	expr 418	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ x e. U.A) -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> ({s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin -> {s e. A | x e. s} e. Fin)))
24	23	r19.23adv 2215	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ x e. U.A) -> (E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin -> {s e. A | x e. s} e. Fin))
25	24	imim2d 28	. . . . . . . . 9 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ x e. U.A) -> ((x e. U.J -> E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin) -> (x e. U.J -> {s e. A | x e. s} e. Fin)))
26	3, 25	mpid 58	. . . . . . . 8 |- (((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) /\ x e. U.A) -> ((x e. U.J -> E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin) -> {s e. A | x e. s} e. Fin))
27	26	ex 402	. . . . . . 7 |- ((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) -> (x e. U.A -> ((x e. U.J -> E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin) -> {s e. A | x e. s} e. Fin)))
28	27	com23 36	. . . . . 6 |- ((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) -> ((x e. U.J -> E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin) -> (x e. U.A -> {s e. A | x e. s} e. Fin)))
29	28	ralimdv2 2173	. . . . 5 |- ((A e. B /\ J e. Top /\ U.J = U.A) -> (A.x e. U.JE.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin -> A.x e. U.A{s e. A | x e. s} e. Fin))
30	29	3exp 1066	. . . 4 |- (A e. B -> (J e. Top -> (U.J = U.A -> (A.x e. U.JE.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin -> A.x e. U.A{s e. A | x e. s} e. Fin))))
31	30	3impd 1082	. . 3 |- (A e. B -> ((J e. Top /\ U.J = U.A /\ A.x e. U.JE.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin) -> A.x e. U.A{s e. A | x e. s} e. Fin))
32		eqid 1884	. . . 4 |- U.J = U.J
33		eqid 1884	. . . 4 |- U.A = U.A
34	32, 33	islocfin 15506	. . 3 |- (A e. B -> (<.J, A>. e. LocFin <-> (J e. Top /\ U.J = U.A /\ A.x e. U.JE.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)))
35	33	isptfin 15505	. . 3 |- (A e. B -> (A e. PtFin <-> A.x e. U.A{s e. A | x e. s} e. Fin))
36	31, 34, 35	3imtr4d 602	. 2 |- (A e. B -> (<.J, A>. e. LocFin -> A e. PtFin))
37	36	imp 377	1 |- ((A e. B /\ <.J, A>. e. LocFin) -> A e. PtFin)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Fincfn 5426  Topctop 8857  neicnei 8988  PtFincptfin 15459  LocFinclocfin 15460

This theorem is referenced by:  locfindsc 15515

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430  df-nei 8989  df-ptfin 15465  df-locfin 15466

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