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Theorem letsr 15402
Description: The "less than or equal to" relationship on the extended reals is a toset. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
letsr  |-  <_  e.  TosetRel

Proof of Theorem letsr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lerel 9446 . . 3  |-  Rel  <_
2 lerelxr 9445 . . . . . . . . . . 11  |-  <_  C_  ( RR*  X.  RR* )
32brel 4892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  y  ->  (
x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )
43adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  -> 
( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )
)
54simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  e.  RR* )
64simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  -> 
y  e.  RR* )
72brel 4892 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  <_  z  ->  (
y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) )
87simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( y  <_  z  ->  z  e.  RR* )
98adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  -> 
z  e.  RR* )
105, 6, 93jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  -> 
( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) )
11 xrletr 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
) )
1210, 11mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z )
1312ax-gen 1591 . . . . 5  |-  A. z
( ( x  <_ 
y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z )
1413gen2 1592 . . . 4  |-  A. x A. y A. z ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
)
15 cotr 5215 . . . 4  |-  ( (  <_  o.  <_  )  C_ 
<_ 
<-> 
A. x A. y A. z ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z ) )
1614, 15mpbir 209 . . 3  |-  (  <_  o.  <_  )  C_  <_
17 asymref 5219 . . . 4  |-  ( (  <_  i^i  `'  <_  )  =  (  _I  |`  U. U.  <_  )  <->  A. x  e.  U. U. 
<_  A. y ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  <->  x  =  y ) )
18 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
x  <_  y  /\  y  <_  x ) )  ->  ( x  <_ 
y  /\  y  <_  x ) )
192brel 4892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  <_  x  ->  (
y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* ) )
2019simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  <_  x  ->  y  e.  RR* )
2120adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  -> 
y  e.  RR* )
22 xrletri3 11134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  =  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
2321, 22sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
x  <_  y  /\  y  <_  x ) )  ->  ( x  =  y  <->  ( x  <_ 
y  /\  y  <_  x ) ) )
2418, 23mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
x  <_  y  /\  y  <_  x ) )  ->  x  =  y )
2524ex 434 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y )
)
26 xrleid 11132 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
2726, 26jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  <_  x  /\  x  <_  x ) )
28 breq2 4301 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  x  <->  x  <_  y ) )
29 breq1 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  x  <->  y  <_  x ) )
3028, 29anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  <_  x  /\  x  <_  x )  <-> 
( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
3127, 30syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  =  y  ->  (
x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
3225, 31impbid 191 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  <->  x  =  y ) )
3332alrimiv 1685 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  A. y
( ( x  <_ 
y  /\  y  <_  x )  <->  x  =  y
) )
34 lefld 15401 . . . . . 6  |-  RR*  =  U. U.  <_
3534eqcomi 2447 . . . . 5  |-  U. U.  <_  =  RR*
3633, 35eleq2s 2535 . . . 4  |-  ( x  e.  U. U.  <_  ->  A. y ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  <->  x  =  y ) )
3717, 36mprgbir 2791 . . 3  |-  (  <_  i^i  `'  <_  )  =  (  _I  |`  U. U.  <_  )
38 xrex 10993 . . . . . 6  |-  RR*  e.  _V
3938, 38xpex 6513 . . . . 5  |-  ( RR*  X. 
RR* )  e.  _V
4039, 2ssexi 4442 . . . 4  |-  <_  e.  _V
41 isps 15377 . . . 4  |-  (  <_  e.  _V  ->  (  <_  e.  PosetRel  <->  ( Rel  <_  /\  (  <_  o.  <_  )  C_  <_  /\  (  <_  i^i  `' 
<_  )  =  (  _I  |`  U. U.  <_  ) ) ) )
4240, 41ax-mp 5 . . 3  |-  (  <_  e. 
PosetRel  <-> 
( Rel  <_  /\  (  <_  o.  <_  )  C_  <_  /\  (  <_  i^i  `' 
<_  )  =  (  _I  |`  U. U.  <_  ) ) )
431, 16, 37, 42mpbir3an 1170 . 2  |-  <_  e.  PosetRel
44 xrletri 11133 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
4544rgen2a 2787 . . 3  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x  <_ 
y  \/  y  <_  x )
46 qfto 5224 . . 3  |-  ( (
RR*  X.  RR* )  C_  (  <_  u.  `'  <_  )  <->  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  ( x  <_ 
y  \/  y  <_  x ) )
4745, 46mpbir 209 . 2  |-  ( RR*  X. 
RR* )  C_  (  <_  u.  `'  <_  )
48 ledm 15399 . . 3  |-  RR*  =  dom  <_
4948istsr 15392 . 2  |-  (  <_  e. 
TosetRel  <-> 
(  <_  e.  PosetRel  /\  ( RR*  X.  RR* )  C_  (  <_  u.  `'  <_  )
) )
5043, 47, 49mpbir2an 911 1  |-  <_  e.  TosetRel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   U.cuni 4096   class class class wbr 4297    _I cid 4636    X. cxp 4843   `'ccnv 4844    |` cres 4847    o. ccom 4849   Rel wrel 4850   RR*cxr 9422    <_ cle 9424   PosetRelcps 15373    TosetRel ctsr 15374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-ps 15375  df-tsr 15376
This theorem is referenced by:  cnfldle  17832  letopon  18814  leordtval2  18821  leordtval  18822  iccordt  18823  ordtrestixx  18831  xrge0tsms  20416  icopnfhmeo  20520  iccpnfhmeo  20522  xrhmeo  20523  xrhaus  26062  xrge0tsmsd  26258  cnvordtrestixx  26348  xrmulc1cn  26365  xrge0iifhmeo  26371
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