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Theorem letsr 16417
Description: The "less than or equal to" relationship on the extended reals is a toset. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
letsr  |-  <_  e.  TosetRel

Proof of Theorem letsr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lerel 9687 . . 3  |-  Rel  <_
2 lerelxr 9686 . . . . . . . . . . 11  |-  <_  C_  ( RR*  X.  RR* )
32brel 4894 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  y  ->  (
x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )
43adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  -> 
( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )
)
54simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  e.  RR* )
64simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  -> 
y  e.  RR* )
72brel 4894 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  <_  z  ->  (
y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) )
87simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( y  <_  z  ->  z  e.  RR* )
98adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  -> 
z  e.  RR* )
105, 6, 93jca 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  -> 
( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) )
11 xrletr 11444 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
) )
1210, 11mpcom 37 . . . . . 6  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z )
1312ax-gen 1665 . . . . 5  |-  A. z
( ( x  <_ 
y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z )
1413gen2 1666 . . . 4  |-  A. x A. y A. z ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
)
15 cotr 5223 . . . 4  |-  ( (  <_  o.  <_  )  C_ 
<_ 
<-> 
A. x A. y A. z ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z ) )
1614, 15mpbir 212 . . 3  |-  (  <_  o.  <_  )  C_  <_
17 asymref 5227 . . . 4  |-  ( (  <_  i^i  `'  <_  )  =  (  _I  |`  U. U.  <_  )  <->  A. x  e.  U. U. 
<_  A. y ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  <->  x  =  y ) )
18 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
x  <_  y  /\  y  <_  x ) )  ->  ( x  <_ 
y  /\  y  <_  x ) )
192brel 4894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  <_  x  ->  (
y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* ) )
2019simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  <_  x  ->  y  e.  RR* )
2120adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  -> 
y  e.  RR* )
22 xrletri3 11440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  =  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
2321, 22sylan2 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
x  <_  y  /\  y  <_  x ) )  ->  ( x  =  y  <->  ( x  <_ 
y  /\  y  <_  x ) ) )
2418, 23mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
x  <_  y  /\  y  <_  x ) )  ->  x  =  y )
2524ex 435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y )
)
26 xrleid 11438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
2726, 26jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  <_  x  /\  x  <_  x ) )
28 breq2 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  x  <->  x  <_  y ) )
29 breq1 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  x  <->  y  <_  x ) )
3028, 29anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  <_  x  /\  x  <_  x )  <-> 
( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
3127, 30syl5ibcom 223 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  =  y  ->  (
x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
3225, 31impbid 193 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  <->  x  =  y ) )
3332alrimiv 1763 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  A. y
( ( x  <_ 
y  /\  y  <_  x )  <->  x  =  y
) )
34 lefld 16416 . . . . . 6  |-  RR*  =  U. U.  <_
3534eqcomi 2433 . . . . 5  |-  U. U.  <_  =  RR*
3633, 35eleq2s 2528 . . . 4  |-  ( x  e.  U. U.  <_  ->  A. y ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  <->  x  =  y ) )
3717, 36mprgbir 2787 . . 3  |-  (  <_  i^i  `'  <_  )  =  (  _I  |`  U. U.  <_  )
38 xrex 11288 . . . . . 6  |-  RR*  e.  _V
3938, 38xpex 6600 . . . . 5  |-  ( RR*  X. 
RR* )  e.  _V
4039, 2ssexi 4561 . . . 4  |-  <_  e.  _V
41 isps 16392 . . . 4  |-  (  <_  e.  _V  ->  (  <_  e.  PosetRel  <->  ( Rel  <_  /\  (  <_  o.  <_  )  C_  <_  /\  (  <_  i^i  `' 
<_  )  =  (  _I  |`  U. U.  <_  ) ) ) )
4240, 41ax-mp 5 . . 3  |-  (  <_  e. 
PosetRel  <-> 
( Rel  <_  /\  (  <_  o.  <_  )  C_  <_  /\  (  <_  i^i  `' 
<_  )  =  (  _I  |`  U. U.  <_  ) ) )
431, 16, 37, 42mpbir3an 1187 . 2  |-  <_  e.  PosetRel
44 xrletri 11439 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
4544rgen2a 2850 . . 3  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x  <_ 
y  \/  y  <_  x )
46 qfto 5232 . . 3  |-  ( (
RR*  X.  RR* )  C_  (  <_  u.  `'  <_  )  <->  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  ( x  <_ 
y  \/  y  <_  x ) )
4745, 46mpbir 212 . 2  |-  ( RR*  X. 
RR* )  C_  (  <_  u.  `'  <_  )
48 ledm 16414 . . 3  |-  RR*  =  dom  <_
4948istsr 16407 . 2  |-  (  <_  e. 
TosetRel  <-> 
(  <_  e.  PosetRel  /\  ( RR*  X.  RR* )  C_  (  <_  u.  `'  <_  )
) )
5043, 47, 49mpbir2an 928 1  |-  <_  e.  TosetRel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   _Vcvv 3078    u. cun 3431    i^i cin 3432    C_ wss 3433   U.cuni 4213   class class class wbr 4417    _I cid 4755    X. cxp 4843   `'ccnv 4844    |` cres 4847    o. ccom 4849   Rel wrel 4850   RR*cxr 9663    <_ cle 9665   PosetRelcps 16388    TosetRel ctsr 16389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-ps 16390  df-tsr 16391
This theorem is referenced by:  cnfldle  18907  letopon  20145  leordtval2  20152  leordtval  20153  iccordt  20154  ordtrestixx  20162  xrge0tsms  21776  icopnfhmeo  21880  iccpnfhmeo  21882  xrhmeo  21883  xrhaus  28217  xrge0tsmsd  28413  cnvordtrestixx  28584  xrmulc1cn  28601  xrge0iifhmeo  28607  poimir  31706
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