MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letrii Structured version   Unicode version

Theorem letrii 9705
Description: Trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
letrii  |-  ( A  <_  B  \/  B  <_  A )

Proof of Theorem letrii
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . 4  |-  B  e.  RR
2 lt.1 . . . 4  |-  A  e.  RR
31, 2ltnlei 9701 . . 3  |-  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
41, 2ltlei 9702 . . 3  |-  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
53, 4sylbir 213 . 2  |-  ( -.  A  <_  B  ->  B  <_  A )
65orri 376 1  |-  ( A  <_  B  \/  B  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 368    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9487    < clt 9624    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  divalglem1  13907
  Copyright terms: Public domain W3C validator