MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letric Structured version   Unicode version

Theorem letric 9636
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
letric  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )

Proof of Theorem letric
StepHypRef Expression
1 ltnle 9615 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
)
2 ltle 9624 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
31, 2sylbird 235 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  B  ->  B  <_  A
) )
43orrd 376 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
54ancoms 451 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   RRcr 9441    < clt 9578    <_ cle 9579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-pre-lttri 9516
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584
This theorem is referenced by:  lecasei  9642  letrid  9689  relin01  10037  avgle  10741  elz2  10842  uztric  11066  xrsupsslem  11469  xrinfmsslem  11470  sqrlem6  13137  resqrex  13140  absor  13189  fzomaxdif  13232  xrsdsreval  18675  elii2  21620  xrhmeo  21630  pcoass  21708  pilem2  23031  pntpbnd1  24044  axcontlem2  24566  icoreclin  31262  oddcomabszz  35222  zindbi  35224
  Copyright terms: Public domain W3C validator