MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letric Structured version   Unicode version

Theorem letric 9681
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
letric  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )

Proof of Theorem letric
StepHypRef Expression
1 ltnle 9660 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
)
2 ltle 9669 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
31, 2sylbird 235 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  B  ->  B  <_  A
) )
43orrd 378 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
54ancoms 453 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9487    < clt 9624    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  lecasei  9686  letrid  9730  relin01  10073  avgle  10776  elz2  10877  uztric  11099  xrsupsslem  11494  xrinfmsslem  11495  sqrlem6  13038  resqrex  13041  absor  13090  fzomaxdif  13132  xrsdsreval  18228  elii2  21168  xrhmeo  21178  pcoass  21256  pilem2  22578  pntpbnd1  23496  axcontlem2  23941  oddcomabszz  30482  zindbi  30484
  Copyright terms: Public domain W3C validator