MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letric Structured version   Unicode version

Theorem letric 9475
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
letric  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )

Proof of Theorem letric
StepHypRef Expression
1 ltnle 9454 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B )
)
2 ltle 9463 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
31, 2sylbird 235 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  B  ->  B  <_  A
) )
43orrd 378 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
54ancoms 453 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   RRcr 9281    < clt 9418    <_ cle 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-pre-lttri 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424
This theorem is referenced by:  lecasei  9480  letrid  9524  relin01  9864  avgle  10566  elz2  10663  uztric  10882  xrsupsslem  11269  xrinfmsslem  11270  sqrlem6  12737  resqrex  12740  absor  12789  fzomaxdif  12831  xrsdsreval  17858  elii2  20508  xrhmeo  20518  pcoass  20596  pilem2  21917  pntpbnd1  22835  axcontlem2  23211  oddcomabszz  29285  zindbi  29287
  Copyright terms: Public domain W3C validator