MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3d Structured version   Unicode version

Theorem letri3d 9716
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
letri3d  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 letri3 9659 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   RRcr 9480    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  add20  10060  eqord1  10077  msq11  10441  supmul  10506  suprzcl  10938  uzwo3  11178  flid  11926  flval3  11932  gcd0id  14245  gcdneg  14248  bezoutlem4  14263  gcdeq  14274  qredeq  14331  pcidlem  14479  pcgcd1  14484  4sqlem17  14563  0ram  14622  ram0  14624  mndodconglem  16764  sylow1lem5  16821  zntoslem  18768  cnmpt2pc  21594  ovolsca  22092  ismbl2  22104  voliunlem2  22127  dyadmaxlem  22172  mbflimsup  22239  mbfi1fseqlem4  22291  itg2cnlem1  22334  ditgneg  22427  rolle  22557  dvivthlem1  22575  plyeq0lem  22773  dgreq  22807  coemulhi  22817  dgradd2  22831  dgrmul  22833  plydiveu  22860  vieta1lem2  22873  pilem3  23014  ostth2  24020  brbtwn2  24410  axcontlem8  24476  nmophmi  27148  leoptri  27253  2sqmod  27870  ballotlemfc0  28695  ballotlemfcc  28696  supadd  30282  rmspecfund  31084  lcmneg  31450  ubelsupr  31635  lefldiveq  31722  wallispilem3  32088  fourierdlem6  32134  fourierdlem42  32170  fourierdlem50  32178  fourierdlem52  32180  fourierdlem54  32182  fourierdlem79  32207  fourierdlem102  32230  fourierdlem114  32242  2ffzoeq  32715
  Copyright terms: Public domain W3C validator