MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3d Structured version   Unicode version

Theorem letri3d 9619
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
letri3d  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 letri3 9563 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4392   RRcr 9384    <_ cle 9522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-resscn 9442  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527
This theorem is referenced by:  add20  9954  eqord1  9971  msq11  10336  supmul  10401  suprzcl  10824  uzwo3  11051  flid  11760  flval3  11766  gcd0id  13811  gcdneg  13814  bezoutlem4  13829  gcdeq  13840  qredeq  13896  pcidlem  14042  pcgcd1  14047  4sqlem17  14126  0ram  14185  ram0  14187  mndodconglem  16150  sylow1lem5  16207  zntoslem  18100  cnmpt2pc  20618  ovolsca  21116  ismbl2  21128  voliunlem2  21150  dyadmaxlem  21195  mbflimsup  21262  mbfi1fseqlem4  21314  itg2cnlem1  21357  ditgneg  21450  rolle  21580  dvivthlem1  21598  plyeq0lem  21796  dgreq  21830  coemulhi  21839  dgradd2  21853  dgrmul  21855  plydiveu  21882  vieta1lem2  21895  pilem3  22036  ostth2  23004  brbtwn2  23288  axcontlem8  23354  nmophmi  25572  leoptri  25677  ballotlemfc0  27011  ballotlemfcc  27012  supadd  28558  rmspecfund  29390  ubelsupr  29882  wallispilem3  30002  2ffzoeq  30354
  Copyright terms: Public domain W3C validator