MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3d Structured version   Unicode version

Theorem letri3d 9717
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
letri3d  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 letri3 9661 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   RRcr 9482    <_ cle 9620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625
This theorem is referenced by:  add20  10055  eqord1  10072  msq11  10437  supmul  10502  suprzcl  10931  uzwo3  11168  flid  11903  flval3  11909  gcd0id  14011  gcdneg  14014  bezoutlem4  14029  gcdeq  14040  qredeq  14097  pcidlem  14245  pcgcd1  14250  4sqlem17  14329  0ram  14388  ram0  14390  mndodconglem  16356  sylow1lem5  16413  zntoslem  18357  cnmpt2pc  21158  ovolsca  21656  ismbl2  21668  voliunlem2  21691  dyadmaxlem  21736  mbflimsup  21803  mbfi1fseqlem4  21855  itg2cnlem1  21898  ditgneg  21991  rolle  22121  dvivthlem1  22139  plyeq0lem  22337  dgreq  22371  coemulhi  22380  dgradd2  22394  dgrmul  22396  plydiveu  22423  vieta1lem2  22436  pilem3  22577  ostth2  23545  brbtwn2  23879  axcontlem8  23945  nmophmi  26614  leoptri  26719  ballotlemfc0  28059  ballotlemfcc  28060  supadd  29607  rmspecfund  30438  ubelsupr  30930  lefldiveq  31016  wallispilem3  31324  fourierdlem6  31370  fourierdlem42  31406  fourierdlem50  31414  fourierdlem52  31416  fourierdlem54  31418  fourierdlem79  31443  fourierdlem102  31466  fourierdlem114  31478  2ffzoeq  31767
  Copyright terms: Public domain W3C validator