MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3 Structured version   Unicode version

Theorem letri3 9671
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
letri3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3
StepHypRef Expression
1 lttri3 9669 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
2 ancom 450 . . 3  |-  ( ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B
)  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
31, 2syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  A  <  B ) ) )
4 lenlt 9664 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5 lenlt 9664 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
65ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
74, 6anbi12d 710 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A
)  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B ) ) )
83, 7bitr4d 256 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9492    < clt 9629    <_ cle 9630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635
This theorem is referenced by:  eqlelt  9673  eqlei  9695  eqlei2  9696  letri3i  9701  letri3d  9727  lesub0  10070  eqord1  10082  lbreu  10494  nnle1eq1  10565  nn0le0eq0  10825  nn0lt10b  10925  zextle  10935  uz11  11105  uzin  11115  uzwo  11145  uzwoOLD  11146  qsqueeze  11401  elfz1eq  11698  faclbnd4lem4  12343  swrdccat3blem  12686  repswswrd  12722  sqeqd  12965  max0add  13109  fsum00  13578  reef11  13718  dvdseq  13895  nn0seqcvgd  14061  infpnlem1  14290  psrbaglesupp  17828  psrbaglesuppOLD  17829  gzrngunit  18291  nmoeq0  21070  oprpiece1res2  21279  pcoval2  21343  minveclem7  21677  pjthlem1  21679  iblposlem  22025  dvferm  22216  dveq0  22228  dv11cn  22229  fta1blem  22396  dgrco  22498  aalioulem3  22556  logf1o2  22856  cxpsqrtlem  22908  ang180lem3  22968  chpeq0  23308  chteq0  23309  lgsdir  23430  lgsabs1  23434  minvecolem7  25572  pjhthlem1  26082  pjnormssi  26860  hstles  26923  stge1i  26930  stle0i  26931  stlesi  26933  cdj3lem1  27126  derangen  28367  bfplem2  30149  bfp  30150  acongeq  30752  jm2.26lem3  30774  dvconstbi  31066
  Copyright terms: Public domain W3C validator