MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letrd Structured version   Unicode version

Theorem letrd 9516
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
letrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
letrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
letrd  |-  ( ph  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem letrd
StepHypRef Expression
1 letrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 letrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 letr 9456 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1211 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
81, 2, 7mp2and 672 1  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   RRcr 9269    <_ cle 9407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412
This theorem is referenced by:  supmul1  10283  supmul  10286  iccsplit  11405  supicc  11420  fzdisj  11463  flwordi  11644  flleceil  11676  uzsup  11686  modltm1p1mod  11735  seqf1olem1  11829  bernneq  11974  bernneq3  11976  discr1  11984  faclbnd  12050  faclbnd4lem1  12053  facubnd  12060  seqcoll  12200  swrdn0  12308  sqrlem7  12722  absle  12787  releabs  12793  absrdbnd  12813  rexuzre  12824  limsupgre  12943  lo1bddrp  12987  rlimclim1  13007  rlimresb  13027  rlimrege0  13041  o1add  13075  o1sub  13077  climsqz  13102  climsqz2  13103  rlimsqzlem  13110  rlimsqz  13111  rlimsqz2  13112  rlimno1  13115  isercoll  13129  caucvgrlem  13134  iseraltlem3  13145  o1fsum  13259  cvgcmp  13262  cvgcmpce  13264  climcnds  13297  expcnv  13309  cvgrat  13326  mertenslem2  13328  eftlub  13376  rpnnen2  13491  bitsfzo  13614  isprm5  13781  eulerthlem2  13840  pcmpt2  13938  pcfac  13944  prmreclem3  13962  prmreclem4  13963  prmreclem5  13964  4sqlem11  13999  vdwlem1  14025  vdwlem3  14027  prdsxmetlem  19785  nrmmetd  20009  nm2dif  20058  nlmvscnlem2  20108  nmoco  20158  nmotri  20160  nghmcn  20166  icccmplem2  20242  reconnlem2  20246  elii1  20349  xrhmeo  20360  cnheiborlem  20368  bndth  20372  tchcphlem1  20592  ipcnlem2  20598  cncmet  20675  trirn  20741  minveclem2  20755  minveclem4  20761  ivthlem2  20778  ovolunlem1a  20821  ovolunlem1  20822  ovolfiniun  20826  ovoliunlem1  20827  ovolicc2lem4  20845  ovolicc2lem5  20846  ovolicopnf  20849  nulmbl2  20860  ioombl1lem4  20884  ioorcl2  20894  uniioombllem3  20907  uniioombllem4  20908  uniioombllem5  20909  volcn  20928  vitalilem2  20931  vitali  20935  mbfi1fseqlem5  21039  mbfi1fseqlem6  21040  itg2splitlem  21068  itg2monolem1  21070  itg2monolem3  21072  itg2mono  21073  itg2cnlem1  21081  itgle  21129  bddmulibl  21158  ditgsplitlem  21177  dveflem  21293  dvlip  21307  dveq0  21314  dvfsumabs  21337  dvfsumlem1  21340  dvfsumlem2  21341  dvfsumlem3  21342  dvfsumlem4  21343  dvfsum2  21348  fta1glem2  21523  dgradd2  21620  plydiveu  21649  fta1lem  21658  aalioulem2  21684  aalioulem3  21685  aalioulem4  21686  aalioulem5  21687  aaliou3lem8  21696  aaliou3lem9  21701  ulmbdd  21748  ulmcn  21749  mtest  21754  mtestbdd  21755  abelthlem2  21782  abelthlem7  21788  pilem2  21802  tanabsge  21853  cosordlem  21872  tanord  21879  logneg2  21949  abslogle  21952  dvlog2lem  21982  cxple2a  22029  abscxpbnd  22076  atans2  22211  leibpi  22222  o1cxp  22253  cxploglim2  22257  jensenlem2  22266  emcllem6  22279  harmoniclbnd  22287  harmonicubnd  22288  harmonicbnd4  22289  fsumharmonic  22290  ftalem2  22296  basellem3  22305  basellem5  22307  basellem6  22308  dvdsflsumcom  22413  fsumfldivdiaglem  22414  ppiub  22428  chtublem  22435  logfac2  22441  chpub  22444  logfacubnd  22445  logfaclbnd  22446  logfacbnd3  22447  logexprlim  22449  bcmono  22501  bpos1lem  22506  bposlem1  22508  bposlem2  22509  bposlem3  22510  bposlem4  22511  bposlem5  22512  bposlem6  22513  bposlem7  22514  bposlem9  22516  lgsdirprm  22553  lgsquadlem1  22578  2sqlem8  22596  chebbnd1lem1  22603  chebbnd1lem3  22605  chtppilimlem1  22607  chpchtlim  22613  vmadivsumb  22617  rplogsumlem1  22618  rplogsumlem2  22619  rpvmasumlem  22621  dchrisumlema  22622  dchrisumlem2  22624  dchrisumlem3  22625  dchrmusum2  22628  dchrvmasumlem2  22632  dchrvmasumlem3  22633  dchrvmasumlema  22634  dchrvmasumiflem1  22635  dchrisum0flblem1  22642  dchrisum0flblem2  22643  dchrisum0fno1  22645  dchrisum0re  22647  dchrisum0lem1b  22649  dchrisum0lem1  22650  dchrisum0lem2a  22651  dchrisum0  22654  rplogsum  22661  mudivsum  22664  mulogsumlem  22665  logdivsum  22667  mulog2sumlem1  22668  mulog2sumlem2  22669  2vmadivsumlem  22674  log2sumbnd  22678  selberglem2  22680  selbergb  22683  selberg2lem  22684  selberg2b  22686  chpdifbndlem1  22687  logdivbnd  22690  selberg3lem1  22691  selberg3lem2  22692  selberg4lem1  22694  pntrmax  22698  pntrsumo1  22699  pntrsumbnd  22700  pntrlog2bndlem1  22711  pntrlog2bndlem2  22712  pntrlog2bndlem3  22713  pntrlog2bndlem5  22715  pntrlog2bndlem6  22717  pntrlog2bnd  22718  pntpbnd1a  22719  pntpbnd1  22720  pntpbnd2  22721  pntibndlem2  22725  pntibndlem3  22726  pntlemg  22732  pntlemr  22736  pntlemj  22737  pntlemf  22739  pntlemk  22740  pntlemo  22741  pntleml  22745  abvcxp  22749  qabvle  22759  padicabv  22764  ostth2lem2  22768  ostth2lem3  22769  ostth3  22772  axlowdimlem16  23026  axcontlem8  23040  axcontlem10  23042  smcnlem  23915  nmoub3i  23996  ubthlem3  24096  minvecolem2  24099  minvecolem3  24100  minvecolem4  24104  htthlem  24142  bcs2  24407  pjhthlem1  24617  cnlnadjlem2  25295  cnlnadjlem7  25300  nmopadjlem  25316  nmoptrii  25321  nmopcoadji  25328  leopnmid  25365  cdj1i  25660  nndiffz1  25898  nexple  26302  esumpcvgval  26381  oddpwdc  26585  eulerpartlems  26591  eulerpartlemgc  26593  eulerpartlemb  26599  dstfrvunirn  26705  orvclteinc  26706  ballotlemsima  26746  ballotlemfrcn0  26760  signstfveq0  26826  lgamgulmlem2  26864  lgamgulmlem3  26865  lgamgulmlem5  26867  lgambdd  26871  mblfinlem2  28273  mblfinlem3  28274  mblfinlem4  28275  ismblfin  28276  itg2addnc  28290  iblmulc2nc  28301  bddiblnc  28306  ftc1anclem7  28317  ftc1anclem8  28318  filbcmb  28478  geomcau  28499  prdsbnd  28536  cntotbnd  28539  bfplem2  28566  rrntotbnd  28579  iccbnd  28583  lzunuz  28951  irrapxlem3  29010  irrapxlem4  29011  irrapxlem5  29012  pellexlem2  29016  pell1qrge1  29056  monotoddzzfi  29128  jm2.17a  29148  rmygeid  29152  fzmaxdif  29169  jm2.27c  29201  jm3.1lem1  29211  expdiophlem1  29215  fmul01  29606  fmul01lt1lem1  29610  fmul01lt1lem2  29611  climsuselem1  29626  climsuse  29627  stoweidlem1  29642  stoweidlem3  29644  stoweidlem5  29646  stoweidlem11  29652  stoweidlem17  29658  stoweidlem20  29661  stoweidlem26  29667  stoweidlem34  29675  wallispilem4  29709  stirlinglem11  29725  stirlinglem12  29726  stirlinglem13  29727  wwlkm1edg  30213  wwlksubclwwlk  30312  difelfzle  30333
  Copyright terms: Public domain W3C validator