MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letrd Structured version   Unicode version

Theorem letrd 9650
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
letrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
letrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
letrd  |-  ( ph  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem letrd
StepHypRef Expression
1 letrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 letrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 letr 9589 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
81, 2, 7mp2and 677 1  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   RRcr 9402    <_ cle 9540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545
This theorem is referenced by:  supmul1  10424  supmul  10427  eluzuzle  11009  iccsplit  11574  supicc  11589  fzdisj  11633  difelfzle  11710  flwordi  11847  flleceil  11880  uzsup  11890  modltm1p1mod  11942  seqf1olem1  12049  bernneq  12194  bernneq3  12196  discr1  12204  faclbnd  12270  faclbnd4lem1  12273  facubnd  12280  seqcoll  12416  sqrlem7  13084  absle  13150  releabs  13156  absrdbnd  13176  rexuzre  13187  limsupgre  13306  lo1bddrp  13350  rlimclim1  13370  rlimresb  13390  rlimrege0  13404  o1add  13438  o1sub  13440  climsqz  13465  climsqz2  13466  rlimsqzlem  13473  rlimsqz  13474  rlimsqz2  13475  rlimno1  13478  isercoll  13492  caucvgrlem  13497  iseraltlem3  13508  o1fsum  13629  cvgcmp  13632  cvgcmpce  13634  climcnds  13665  expcnv  13677  cvgrat  13694  mertenslem2  13696  eftlub  13846  rpnnen2  13961  bitsfzo  14087  isprm5  14255  eulerthlem2  14314  pcmpt2  14414  pcfac  14420  prmreclem3  14438  prmreclem4  14439  prmreclem5  14440  4sqlem11  14475  vdwlem1  14501  vdwlem3  14503  prdsxmetlem  20956  nrmmetd  21180  nm2dif  21229  nlmvscnlem2  21279  nmoco  21329  nmotri  21331  nghmcn  21337  icccmplem2  21413  reconnlem2  21417  elii1  21520  xrhmeo  21531  cnheiborlem  21539  bndth  21543  tchcphlem1  21763  ipcnlem2  21769  cncmet  21846  trirn  21912  minveclem2  21926  minveclem4  21932  ivthlem2  21949  ovolunlem1a  21992  ovolunlem1  21993  ovolfiniun  21997  ovoliunlem1  21998  ovolicc2lem4  22016  ovolicc2lem5  22017  ovolicopnf  22020  nulmbl2  22032  ioombl1lem4  22056  ioorcl2  22066  uniioombllem3  22079  uniioombllem4  22080  uniioombllem5  22081  volcn  22100  vitalilem2  22103  vitali  22107  mbfi1fseqlem5  22211  mbfi1fseqlem6  22212  itg2splitlem  22240  itg2monolem1  22242  itg2monolem3  22244  itg2mono  22245  itg2cnlem1  22253  itgle  22301  bddmulibl  22330  ditgsplitlem  22349  dveflem  22465  dvlip  22479  dveq0  22486  dvfsumabs  22509  dvfsumlem1  22512  dvfsumlem2  22513  dvfsumlem3  22514  dvfsumlem4  22515  dvfsum2  22520  fta1glem2  22652  dgradd2  22750  plydiveu  22779  fta1lem  22788  aalioulem2  22814  aalioulem3  22815  aalioulem4  22816  aalioulem5  22817  aaliou3lem8  22826  aaliou3lem9  22831  ulmbdd  22878  ulmcn  22879  mtest  22884  mtestbdd  22885  abelthlem2  22912  abelthlem7  22918  pilem2  22932  tanabsge  22984  cosordlem  23003  tanord  23010  logneg2  23087  abslogle  23090  dvlog2lem  23120  cxple2a  23167  abscxpbnd  23214  atans2  23378  leibpi  23389  o1cxp  23421  cxploglim2  23425  jensenlem2  23434  emcllem6  23447  harmoniclbnd  23455  harmonicubnd  23456  harmonicbnd4  23457  fsumharmonic  23458  ftalem2  23464  basellem3  23473  basellem5  23475  basellem6  23476  dvdsflsumcom  23581  fsumfldivdiaglem  23582  ppiub  23596  chtublem  23603  logfac2  23609  chpub  23612  logfacubnd  23613  logfaclbnd  23614  logfacbnd3  23615  logexprlim  23617  bcmono  23669  bpos1lem  23674  bposlem1  23676  bposlem2  23677  bposlem3  23678  bposlem4  23679  bposlem5  23680  bposlem6  23681  bposlem7  23682  bposlem9  23684  lgsdirprm  23721  lgsquadlem1  23746  2sqlem8  23764  chebbnd1lem1  23771  chebbnd1lem3  23773  chtppilimlem1  23775  chpchtlim  23781  vmadivsumb  23785  rplogsumlem1  23786  rplogsumlem2  23787  rpvmasumlem  23789  dchrisumlema  23790  dchrisumlem2  23792  dchrisumlem3  23793  dchrmusum2  23796  dchrvmasumlem2  23800  dchrvmasumlem3  23801  dchrvmasumlema  23802  dchrvmasumiflem1  23803  dchrisum0flblem1  23810  dchrisum0flblem2  23811  dchrisum0fno1  23813  dchrisum0re  23815  dchrisum0lem1b  23817  dchrisum0lem1  23818  dchrisum0lem2a  23819  dchrisum0  23822  rplogsum  23829  mudivsum  23832  mulogsumlem  23833  logdivsum  23835  mulog2sumlem1  23836  mulog2sumlem2  23837  2vmadivsumlem  23842  log2sumbnd  23846  selberglem2  23848  selbergb  23851  selberg2lem  23852  selberg2b  23854  chpdifbndlem1  23855  logdivbnd  23858  selberg3lem1  23859  selberg3lem2  23860  selberg4lem1  23862  pntrmax  23866  pntrsumo1  23867  pntrsumbnd  23868  pntrlog2bndlem1  23879  pntrlog2bndlem2  23880  pntrlog2bndlem3  23881  pntrlog2bndlem5  23883  pntrlog2bndlem6  23885  pntrlog2bnd  23886  pntpbnd1a  23887  pntpbnd1  23888  pntpbnd2  23889  pntibndlem2  23893  pntibndlem3  23894  pntlemg  23900  pntlemr  23904  pntlemj  23905  pntlemf  23907  pntlemk  23908  pntlemo  23909  pntleml  23913  abvcxp  23917  qabvle  23927  padicabv  23932  ostth2lem2  23936  ostth2lem3  23937  ostth3  23940  axlowdimlem16  24381  axcontlem8  24395  axcontlem10  24397  wwlkm1edg  24856  wwlksubclwwlk  24925  smcnlem  25724  nmoub3i  25805  ubthlem3  25905  minvecolem2  25908  minvecolem3  25909  minvecolem4  25913  htthlem  25951  bcs2  26216  pjhthlem1  26426  cnlnadjlem2  27103  cnlnadjlem7  27108  nmopadjlem  27124  nmoptrii  27129  nmopcoadji  27136  leopnmid  27173  cdj1i  27468  nndiffz1  27749  nexple  28158  esumpcvgval  28226  oddpwdc  28476  eulerpartlems  28482  eulerpartlemgc  28484  eulerpartlemb  28490  dstfrvunirn  28596  orvclteinc  28597  ballotlemsima  28637  ballotlemfrcn0  28651  signstfveq0  28717  lgamgulmlem2  28761  lgamgulmlem3  28762  lgamgulmlem5  28764  lgambdd  28768  mblfinlem2  30217  mblfinlem3  30218  mblfinlem4  30219  ismblfin  30220  itg2addnc  30235  iblmulc2nc  30246  bddiblnc  30251  ftc1anclem7  30262  ftc1anclem8  30263  filbcmb  30397  geomcau  30418  prdsbnd  30455  cntotbnd  30458  bfplem2  30485  rrntotbnd  30498  iccbnd  30502  lzunuz  30866  irrapxlem3  30925  irrapxlem4  30926  irrapxlem5  30927  pellexlem2  30931  pell1qrge1  30971  monotoddzzfi  31043  jm2.17a  31063  rmygeid  31067  fzmaxdif  31084  jm2.27c  31115  jm3.1lem1  31125  expdiophlem1  31129  isprm7  31360  dvgrat  31361  monoords  31662  absnpncan2d  31668  absnpncan3d  31673  ssfiunibd  31675  leadd12dd  31687  fmul01  31740  fmul01lt1lem1  31744  fmul01lt1lem2  31745  fprodle  31770  climsuselem1  31779  climsuse  31780  dvdivbd  31886  dvbdfbdioolem2  31892  ioodvbdlimc1lem1  31894  ioodvbdlimc1lem2  31895  ioodvbdlimc2lem  31897  dvnmul  31906  dvnprodlem1  31909  dvnprodlem2  31910  iblspltprt  31938  itgspltprt  31944  stoweidlem1  31949  stoweidlem3  31951  stoweidlem5  31953  stoweidlem11  31959  stoweidlem17  31965  stoweidlem20  31968  stoweidlem26  31974  stoweidlem34  31982  wallispilem4  32016  stirlinglem11  32032  stirlinglem12  32033  stirlinglem13  32034  fourierdlem12  32067  fourierdlem15  32070  fourierdlem20  32075  fourierdlem30  32085  fourierdlem39  32094  fourierdlem42  32097  fourierdlem47  32102  fourierdlem50  32105  fourierdlem64  32119  fourierdlem65  32120  fourierdlem68  32123  fourierdlem73  32128  fourierdlem77  32132  fourierdlem79  32134  fourierdlem87  32142  elaa2lem  32182  etransclem23  32206  fllog2  33389  imo72b2lem0  38511  int-ineqtransd  38544
  Copyright terms: Public domain W3C validator