MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letrd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem letrd 9809
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
letrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
letrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
letrd  |-  ( ph  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem letrd
StepHypRef Expression
1 letrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 letrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 letr 9745 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
81, 2, 7mp2and 693 1  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    e. wcel 1904   class class class wbr 4395   RRcr 9556    <_ cle 9694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699
This theorem is referenced by:  lesub3d  10252  supmul1  10598  supmul  10601  eluzuzle  11191  iccsplit  11791  supicc  11806  fzdisj  11852  difelfzle  11929  flwordi  12080  flleceil  12113  uzsup  12123  modltm1p1mod  12176  seqf1olem1  12290  bernneq  12436  bernneq3  12438  discr1  12446  faclbnd  12513  faclbnd4lem1  12516  facubnd  12523  seqcoll  12668  sqrlem7  13389  absle  13455  releabs  13461  absrdbnd  13481  rexuzre  13492  limsupgre  13619  limsupgreOLD  13620  lo1bddrp  13666  rlimclim1  13686  rlimresb  13706  rlimrege0  13720  o1add  13754  o1sub  13756  climsqz  13781  climsqz2  13782  rlimsqzlem  13789  rlimsqz  13790  rlimsqz2  13791  rlimno1  13794  isercoll  13808  caucvgrlem  13813  caucvgrlemOLD  13814  iseraltlem3  13827  o1fsum  13950  cvgcmp  13953  cvgcmpce  13955  climcnds  13986  expcnv  13999  cvgrat  14016  mertenslem2  14018  fprodle  14127  eftlub  14240  rpnnen2  14355  bitsfzo  14488  isprm5  14730  eulerthlem2  14809  pcmpt2  14917  pcfac  14923  prmreclem3  14941  prmreclem4  14942  prmreclem5  14943  4sqlem11  14978  vdwlem1  15010  vdwlem3  15012  prdsxmetlem  21461  nrmmetd  21667  nm2dif  21716  nlmvscnlem2  21766  nmoco  21836  nmotri  21838  nghmcn  21844  icccmplem2  21919  reconnlem2  21923  elii1  22041  xrhmeo  22052  cnheiborlem  22060  bndth  22064  tchcphlem1  22287  ipcnlem2  22293  cncmet  22368  trirn  22432  minveclem2  22446  minveclem4  22452  minveclem2OLD  22458  minveclem4OLD  22464  ivthlem2  22481  ovolunlem1a  22527  ovolunlem1  22528  ovolfiniun  22532  ovoliunlem1  22533  ovolicc2lem4OLD  22551  ovolicc2lem4  22552  ovolicc2lem5  22553  ovolicopnf  22556  nulmbl2  22568  ioombl1lem4  22593  ioorcl2  22603  uniioombllem3  22622  uniioombllem4  22623  uniioombllem5  22624  volcn  22643  vitalilem2  22646  vitali  22650  mbfi1fseqlem5  22756  mbfi1fseqlem6  22757  itg2splitlem  22785  itg2monolem1  22787  itg2monolem3  22789  itg2mono  22790  itg2cnlem1  22798  itgle  22846  bddmulibl  22875  ditgsplitlem  22894  dveflem  23010  dvlip  23024  dveq0  23031  dvfsumabs  23054  dvfsumlem1  23057  dvfsumlem2  23058  dvfsumlem3  23059  dvfsumlem4  23060  dvfsum2  23065  fta1glem2  23196  dgradd2  23301  plydiveu  23330  fta1lem  23339  aalioulem2  23368  aalioulem3  23369  aalioulem4  23370  aalioulem5  23371  aaliou3lem8  23380  aaliou3lem9  23385  ulmbdd  23432  ulmcn  23433  mtest  23438  mtestbdd  23439  abelthlem2  23466  abelthlem7  23472  pilem2  23486  pilem2OLD  23487  tanabsge  23540  cosordlem  23559  tanord  23566  logneg2  23643  abslogle  23646  dvlog2lem  23676  cxple2a  23723  abscxpbnd  23772  atans2  23936  leibpi  23947  o1cxp  23979  cxploglim2  23983  jensenlem2  23992  emcllem6  24005  harmoniclbnd  24013  harmonicubnd  24014  harmonicbnd4  24015  fsumharmonic  24016  lgamgulmlem2  24034  lgamgulmlem3  24035  lgamgulmlem5  24037  lgambdd  24041  ftalem2  24077  basellem3  24088  basellem5  24090  basellem6  24091  dvdsflsumcom  24196  fsumfldivdiaglem  24197  ppiub  24211  chtublem  24218  logfac2  24224  chpub  24227  logfacubnd  24228  logfaclbnd  24229  logfacbnd3  24230  logexprlim  24232  bcmono  24284  bpos1lem  24289  bposlem1  24291  bposlem2  24292  bposlem3  24293  bposlem4  24294  bposlem5  24295  bposlem6  24296  bposlem7  24297  bposlem9  24299  lgsdirprm  24336  lgsquadlem1  24361  2sqlem8  24379  chebbnd1lem1  24386  chebbnd1lem3  24388  chtppilimlem1  24390  chpchtlim  24396  vmadivsumb  24400  rplogsumlem1  24401  rplogsumlem2  24402  rpvmasumlem  24404  dchrisumlema  24405  dchrisumlem2  24407  dchrisumlem3  24408  dchrmusum2  24411  dchrvmasumlem2  24415  dchrvmasumlem3  24416  dchrvmasumlema  24417  dchrvmasumiflem1  24418  dchrisum0flblem1  24425  dchrisum0flblem2  24426  dchrisum0fno1  24428  dchrisum0re  24430  dchrisum0lem1b  24432  dchrisum0lem1  24433  dchrisum0lem2a  24434  dchrisum0  24437  rplogsum  24444  mudivsum  24447  mulogsumlem  24448  logdivsum  24450  mulog2sumlem1  24451  mulog2sumlem2  24452  2vmadivsumlem  24457  log2sumbnd  24461  selberglem2  24463  selbergb  24466  selberg2lem  24467  selberg2b  24469  chpdifbndlem1  24470  logdivbnd  24473  selberg3lem1  24474  selberg3lem2  24475  selberg4lem1  24477  pntrmax  24481  pntrsumo1  24482  pntrsumbnd  24483  pntrlog2bndlem1  24494  pntrlog2bndlem2  24495  pntrlog2bndlem3  24496  pntrlog2bndlem5  24498  pntrlog2bndlem6  24500  pntrlog2bnd  24501  pntpbnd1a  24502  pntpbnd1  24503  pntpbnd2  24504  pntibndlem2  24508  pntibndlem3  24509  pntlemg  24515  pntlemr  24519  pntlemj  24520  pntlemf  24522  pntlemk  24523  pntlemo  24524  pntleml  24528  abvcxp  24532  qabvle  24542  padicabv  24547  ostth2lem2  24551  ostth2lem3  24552  ostth3  24555  axlowdimlem16  25066  axcontlem8  25080  axcontlem10  25082  wwlkm1edg  25542  wwlksubclwwlk  25611  smcnlem  26414  nmoub3i  26495  ubthlem3  26595  minvecolem2  26598  minvecolem3  26599  minvecolem4  26603  minvecolem2OLD  26608  minvecolem3OLD  26609  minvecolem4OLD  26613  htthlem  26651  bcs2  26916  pjhthlem1  27125  cnlnadjlem2  27802  cnlnadjlem7  27807  nmopadjlem  27823  nmoptrii  27828  nmopcoadji  27835  leopnmid  27872  cdj1i  28167  nndiffz1  28441  pmtrto1cl  28686  psgnfzto1stlem  28687  fzto1st  28690  psgnfzto1st  28692  smatrcl  28696  submateqlem1  28707  nexple  28905  esumpcvgval  28973  oddpwdc  29260  eulerpartlems  29266  eulerpartlemgc  29268  eulerpartlemb  29274  dstfrvunirn  29380  orvclteinc  29381  ballotlemsima  29421  ballotlemfrcn0  29435  ballotlemsimaOLD  29459  ballotlemfrcn0OLD  29473  signstfveq0  29538  poimirlem6  32010  poimirlem7  32011  poimirlem13  32017  poimirlem15  32019  poimirlem29  32033  mblfinlem2  32042  mblfinlem3  32043  mblfinlem4  32044  ismblfin  32045  itg2addnc  32060  iblmulc2nc  32071  bddiblnc  32076  ftc1anclem7  32087  ftc1anclem8  32088  filbcmb  32131  geomcau  32152  prdsbnd  32189  cntotbnd  32192  bfplem2  32219  rrntotbnd  32232  iccbnd  32236  lzunuz  35681  irrapxlem3  35739  irrapxlem4  35740  irrapxlem5  35741  pellexlem2  35745  pell1qrge1  35787  monotoddzzfi  35861  jm2.17a  35881  rmygeid  35885  fzmaxdif  35902  jm2.27c  35933  jm3.1lem1  35943  expdiophlem1  35947  imo72b2lem0  36679  int-ineqtransd  36711  isprm7  36730  dvgrat  36731  monoords  37602  absnpncan2d  37608  absnpncan3d  37613  ssfiunibd  37615  leadd12dd  37626  fmul01  37755  fmul01lt1lem1  37759  fmul01lt1lem2  37760  climsuselem1  37783  climsuse  37784  dvdivbd  37892  dvbdfbdioolem2  37898  ioodvbdlimc1lem1  37900  ioodvbdlimc1lem2  37901  ioodvbdlimc1lem1OLD  37902  ioodvbdlimc1lem2OLD  37903  ioodvbdlimc2lem  37905  ioodvbdlimc2lemOLD  37906  dvnmul  37915  dvnprodlem1  37918  dvnprodlem2  37919  iblspltprt  37947  itgspltprt  37953  stoweidlem1  37973  stoweidlem3  37975  stoweidlem5  37977  stoweidlem11  37983  stoweidlem17  37989  stoweidlem20  37992  stoweidlem26  37998  stoweidlem34  38007  wallispilem4  38042  stirlinglem11  38058  stirlinglem12  38059  stirlinglem13  38060  fourierdlem12  38093  fourierdlem15  38096  fourierdlem20  38101  fourierdlem30  38111  fourierdlem39  38121  fourierdlem42  38124  fourierdlem42OLD  38125  fourierdlem47  38129  fourierdlem50  38132  fourierdlem64  38146  fourierdlem65  38147  fourierdlem68  38150  fourierdlem73  38155  fourierdlem77  38159  fourierdlem79  38161  fourierdlem87  38169  elaa2lem  38209  elaa2lemOLD  38210  etransclem23  38234  salgencntex  38314  sge0le  38363  sge0isum  38383  sge0xaddlem1  38389  hoicvr  38488  hsphoidmvle2  38525  hoidmv1lelem1  38531  hoidmv1lelem2  38532  hoidmv1lelem3  38533  hoidmvlelem1  38535  hoidmvlelem2  38536  hoidmvlelem4  38538  hspmbllem1  38566  hspmbllem2  38567  fllog2  40887
  Copyright terms: Public domain W3C validator