MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letrd Structured version   Unicode version

Theorem letrd 9734
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
letrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
letrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
letrd  |-  ( ph  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem letrd
StepHypRef Expression
1 letrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 letrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 letr 9674 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
81, 2, 7mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9487    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  supmul1  10504  supmul  10507  eluzuzle  11086  iccsplit  11649  supicc  11664  fzdisj  11708  difelfzle  11781  flwordi  11911  flleceil  11943  uzsup  11953  modltm1p1mod  12002  seqf1olem1  12109  bernneq  12254  bernneq3  12256  discr1  12264  faclbnd  12330  faclbnd4lem1  12333  facubnd  12340  seqcoll  12472  swrdn0  12612  sqrlem7  13039  absle  13104  releabs  13110  absrdbnd  13130  rexuzre  13141  limsupgre  13260  lo1bddrp  13304  rlimclim1  13324  rlimresb  13344  rlimrege0  13358  o1add  13392  o1sub  13394  climsqz  13419  climsqz2  13420  rlimsqzlem  13427  rlimsqz  13428  rlimsqz2  13429  rlimno1  13432  isercoll  13446  caucvgrlem  13451  iseraltlem3  13462  o1fsum  13583  cvgcmp  13586  cvgcmpce  13588  climcnds  13619  expcnv  13631  cvgrat  13648  mertenslem2  13650  eftlub  13698  rpnnen2  13813  bitsfzo  13937  isprm5  14105  eulerthlem2  14164  pcmpt2  14264  pcfac  14270  prmreclem3  14288  prmreclem4  14289  prmreclem5  14290  4sqlem11  14325  vdwlem1  14351  vdwlem3  14353  prdsxmetlem  20603  nrmmetd  20827  nm2dif  20876  nlmvscnlem2  20926  nmoco  20976  nmotri  20978  nghmcn  20984  icccmplem2  21060  reconnlem2  21064  elii1  21167  xrhmeo  21178  cnheiborlem  21186  bndth  21190  tchcphlem1  21410  ipcnlem2  21416  cncmet  21493  trirn  21559  minveclem2  21573  minveclem4  21579  ivthlem2  21596  ovolunlem1a  21639  ovolunlem1  21640  ovolfiniun  21644  ovoliunlem1  21645  ovolicc2lem4  21663  ovolicc2lem5  21664  ovolicopnf  21667  nulmbl2  21679  ioombl1lem4  21703  ioorcl2  21713  uniioombllem3  21726  uniioombllem4  21727  uniioombllem5  21728  volcn  21747  vitalilem2  21750  vitali  21754  mbfi1fseqlem5  21858  mbfi1fseqlem6  21859  itg2splitlem  21887  itg2monolem1  21889  itg2monolem3  21891  itg2mono  21892  itg2cnlem1  21900  itgle  21948  bddmulibl  21977  ditgsplitlem  21996  dveflem  22112  dvlip  22126  dveq0  22133  dvfsumabs  22156  dvfsumlem1  22159  dvfsumlem2  22160  dvfsumlem3  22161  dvfsumlem4  22162  dvfsum2  22167  fta1glem2  22299  dgradd2  22396  plydiveu  22425  fta1lem  22434  aalioulem2  22460  aalioulem3  22461  aalioulem4  22462  aalioulem5  22463  aaliou3lem8  22472  aaliou3lem9  22477  ulmbdd  22524  ulmcn  22525  mtest  22530  mtestbdd  22531  abelthlem2  22558  abelthlem7  22564  pilem2  22578  tanabsge  22629  cosordlem  22648  tanord  22655  logneg2  22725  abslogle  22728  dvlog2lem  22758  cxple2a  22805  abscxpbnd  22852  atans2  22987  leibpi  22998  o1cxp  23029  cxploglim2  23033  jensenlem2  23042  emcllem6  23055  harmoniclbnd  23063  harmonicubnd  23064  harmonicbnd4  23065  fsumharmonic  23066  ftalem2  23072  basellem3  23081  basellem5  23083  basellem6  23084  dvdsflsumcom  23189  fsumfldivdiaglem  23190  ppiub  23204  chtublem  23211  logfac2  23217  chpub  23220  logfacubnd  23221  logfaclbnd  23222  logfacbnd3  23223  logexprlim  23225  bcmono  23277  bpos1lem  23282  bposlem1  23284  bposlem2  23285  bposlem3  23286  bposlem4  23287  bposlem5  23288  bposlem6  23289  bposlem7  23290  bposlem9  23292  lgsdirprm  23329  lgsquadlem1  23354  2sqlem8  23372  chebbnd1lem1  23379  chebbnd1lem3  23381  chtppilimlem1  23383  chpchtlim  23389  vmadivsumb  23393  rplogsumlem1  23394  rplogsumlem2  23395  rpvmasumlem  23397  dchrisumlema  23398  dchrisumlem2  23400  dchrisumlem3  23401  dchrmusum2  23404  dchrvmasumlem2  23408  dchrvmasumlem3  23409  dchrvmasumlema  23410  dchrvmasumiflem1  23411  dchrisum0flblem1  23418  dchrisum0flblem2  23419  dchrisum0fno1  23421  dchrisum0re  23423  dchrisum0lem1b  23425  dchrisum0lem1  23426  dchrisum0lem2a  23427  dchrisum0  23430  rplogsum  23437  mudivsum  23440  mulogsumlem  23441  logdivsum  23443  mulog2sumlem1  23444  mulog2sumlem2  23445  2vmadivsumlem  23450  log2sumbnd  23454  selberglem2  23456  selbergb  23459  selberg2lem  23460  selberg2b  23462  chpdifbndlem1  23463  logdivbnd  23466  selberg3lem1  23467  selberg3lem2  23468  selberg4lem1  23470  pntrmax  23474  pntrsumo1  23475  pntrsumbnd  23476  pntrlog2bndlem1  23487  pntrlog2bndlem2  23488  pntrlog2bndlem3  23489  pntrlog2bndlem5  23491  pntrlog2bndlem6  23493  pntrlog2bnd  23494  pntpbnd1a  23495  pntpbnd1  23496  pntpbnd2  23497  pntibndlem2  23501  pntibndlem3  23502  pntlemg  23508  pntlemr  23512  pntlemj  23513  pntlemf  23515  pntlemk  23516  pntlemo  23517  pntleml  23521  abvcxp  23525  qabvle  23535  padicabv  23540  ostth2lem2  23544  ostth2lem3  23545  ostth3  23548  axlowdimlem16  23933  axcontlem8  23947  axcontlem10  23949  wwlkm1edg  24408  wwlksubclwwlk  24477  smcnlem  25280  nmoub3i  25361  ubthlem3  25461  minvecolem2  25464  minvecolem3  25465  minvecolem4  25469  htthlem  25507  bcs2  25772  pjhthlem1  25982  cnlnadjlem2  26660  cnlnadjlem7  26665  nmopadjlem  26681  nmoptrii  26686  nmopcoadji  26693  leopnmid  26730  cdj1i  27025  nndiffz1  27261  nexple  27642  esumpcvgval  27721  oddpwdc  27930  eulerpartlems  27936  eulerpartlemgc  27938  eulerpartlemb  27944  dstfrvunirn  28050  orvclteinc  28051  ballotlemsima  28091  ballotlemfrcn0  28105  signstfveq0  28171  lgamgulmlem2  28209  lgamgulmlem3  28210  lgamgulmlem5  28212  lgambdd  28216  mblfinlem2  29627  mblfinlem3  29628  mblfinlem4  29629  ismblfin  29630  itg2addnc  29644  iblmulc2nc  29655  bddiblnc  29660  ftc1anclem7  29671  ftc1anclem8  29672  filbcmb  29832  geomcau  29853  prdsbnd  29890  cntotbnd  29893  bfplem2  29920  rrntotbnd  29933  iccbnd  29937  lzunuz  30303  irrapxlem3  30362  irrapxlem4  30363  irrapxlem5  30364  pellexlem2  30368  pell1qrge1  30408  monotoddzzfi  30480  jm2.17a  30500  rmygeid  30504  fzmaxdif  30521  jm2.27c  30553  jm3.1lem1  30563  expdiophlem1  30567  isprm7  30795  monoords  31073  hashssle  31074  absnpncan2d  31079  absnpncan3d  31084  ssfiunibd  31086  fmul01  31130  fmul01lt1lem1  31134  fmul01lt1lem2  31135  climsuselem1  31149  climsuse  31150  dvdivbd  31253  dvbdfbdioolem2  31259  ioodvbdlimc1lem1  31261  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  iblspltprt  31291  itgspltprt  31297  stoweidlem1  31301  stoweidlem3  31303  stoweidlem5  31305  stoweidlem11  31311  stoweidlem17  31317  stoweidlem20  31320  stoweidlem26  31326  stoweidlem34  31334  wallispilem4  31368  stirlinglem11  31384  stirlinglem12  31385  stirlinglem13  31386  fourierdlem12  31419  fourierdlem15  31422  fourierdlem20  31427  fourierdlem30  31437  fourierdlem39  31446  fourierdlem42  31449  fourierdlem45  31452  fourierdlem47  31454  fourierdlem50  31457  fourierdlem64  31471  fourierdlem65  31472  fourierdlem68  31475  fourierdlem73  31480  fourierdlem77  31484  fourierdlem79  31486  fourierdlem87  31494
  Copyright terms: Public domain W3C validator