MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letrd Unicode version

Theorem letrd 9183
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
letrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
letrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
letrd  |-  ( ph  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem letrd
StepHypRef Expression
1 letrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 letrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 letr 9123 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
81, 2, 7mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  supmul1  9929  supmul  9932  iccsplit  10985  fzdisj  11034  flwordi  11174  uzsup  11199  seqf1olem1  11317  bernneq  11460  bernneq3  11462  discr1  11470  faclbnd  11536  faclbnd4lem1  11539  facubnd  11546  seqcoll  11667  sqrlem7  12009  absle  12074  releabs  12080  absrdbnd  12100  rexuzre  12111  limsupgre  12230  lo1bddrp  12274  rlimclim1  12294  rlimresb  12314  rlimrege0  12328  o1add  12362  o1sub  12364  climsqz  12389  climsqz2  12390  rlimsqzlem  12397  rlimsqz  12398  rlimsqz2  12399  rlimno1  12402  isercoll  12416  caucvgrlem  12421  iseraltlem3  12432  o1fsum  12547  cvgcmp  12550  cvgcmpce  12552  climcnds  12586  expcnv  12598  cvgrat  12615  mertenslem2  12617  eftlub  12665  rpnnen2  12780  bitsfzo  12902  isprm5  13067  eulerthlem2  13126  pcmpt2  13217  pcfac  13223  prmreclem3  13241  prmreclem4  13242  prmreclem5  13243  4sqlem11  13278  vdwlem1  13304  vdwlem3  13306  prdsxmetlem  18351  nrmmetd  18575  nm2dif  18624  nlmvscnlem2  18674  nmoco  18724  nmotri  18726  nghmcn  18732  icccmplem2  18807  reconnlem2  18811  elii1  18913  xrhmeo  18924  cnheiborlem  18932  bndth  18936  tchcphlem1  19145  ipcnlem2  19151  cncmet  19228  minveclem2  19280  minveclem4  19286  ivthlem2  19302  ovolunlem1a  19345  ovolunlem1  19346  ovolfiniun  19350  ovoliunlem1  19351  ovolicc2lem4  19369  ovolicc2lem5  19370  ovolicopnf  19373  nulmbl2  19384  ioombl1lem4  19408  ioorcl2  19417  uniioombllem3  19430  uniioombllem4  19431  uniioombllem5  19432  volcn  19451  vitalilem2  19454  vitali  19458  mbfi1fseqlem5  19564  mbfi1fseqlem6  19565  itg2splitlem  19593  itg2monolem1  19595  itg2monolem3  19597  itg2mono  19598  itg2cnlem1  19606  itgle  19654  bddmulibl  19683  ditgsplitlem  19700  dveflem  19816  dvlip  19830  dveq0  19837  dvfsumabs  19860  dvfsumlem1  19863  dvfsumlem2  19864  dvfsumlem3  19865  dvfsumlem4  19866  dvfsum2  19871  fta1glem2  20042  dgradd2  20139  plydiveu  20168  fta1lem  20177  aalioulem2  20203  aalioulem3  20204  aalioulem4  20205  aalioulem5  20206  aaliou3lem8  20215  aaliou3lem9  20220  ulmbdd  20267  ulmcn  20268  mtest  20273  mtestbdd  20274  abelthlem2  20301  abelthlem7  20307  pilem2  20321  tanabsge  20367  cosordlem  20386  tanord  20393  logneg2  20463  abslogle  20466  dvlog2lem  20496  cxple2a  20543  abscxpbnd  20590  atans2  20724  leibpi  20735  o1cxp  20766  cxploglim2  20770  jensenlem2  20779  emcllem6  20792  harmoniclbnd  20800  harmonicubnd  20801  harmonicbnd4  20802  fsumharmonic  20803  ftalem2  20809  basellem3  20818  basellem5  20820  basellem6  20821  dvdsflsumcom  20926  fsumfldivdiaglem  20927  ppiub  20941  chtublem  20948  logfac2  20954  chpub  20957  logfacubnd  20958  logfaclbnd  20959  logfacbnd3  20960  logexprlim  20962  bcmono  21014  bpos1lem  21019  bposlem1  21021  bposlem2  21022  bposlem3  21023  bposlem4  21024  bposlem5  21025  bposlem6  21026  bposlem7  21027  bposlem9  21029  lgsdirprm  21066  lgsquadlem1  21091  2sqlem8  21109  chebbnd1lem1  21116  chebbnd1lem3  21118  chtppilimlem1  21120  chpchtlim  21126  vmadivsumb  21130  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisumlema  21135  dchrisumlem2  21137  dchrisumlem3  21138  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumlem3  21146  dchrvmasumlema  21147  dchrvmasumiflem1  21148  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0flblem2  21156  dchrisum0fno1  21158  dchrisum0re  21160  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0  21167  rplogsum  21174  mudivsum  21177  mulogsumlem  21178  logdivsum  21180  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  2vmadivsumlem  21187  log2sumbnd  21191  selberglem2  21193  selbergb  21196  selberg2lem  21197  selberg2b  21199  chpdifbndlem1  21200  logdivbnd  21203  selberg3lem1  21204  selberg3lem2  21205  selberg4lem1  21207  pntrmax  21211  pntrsumo1  21212  pntrsumbnd  21213  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntpbnd1a  21232  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntibndlem2  21238  pntibndlem3  21239  pntlemg  21245  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pntlemf  21252  pntlemk  21253  pntlemo  21254  pntleml  21258  abvcxp  21262  qabvle  21272  padicabv  21277  ostth2lem2  21281  ostth2lem3  21282  ostth3  21285  smcnlem  22146  nmoub3i  22227  ubthlem3  22327  minvecolem2  22330  minvecolem3  22331  minvecolem4  22335  htthlem  22373  bcs2  22637  pjhthlem1  22846  cnlnadjlem2  23524  cnlnadjlem7  23529  nmopadjlem  23545  nmoptrii  23550  nmopcoadji  23557  leopnmid  23594  cdj1i  23889  esumpcvgval  24421  dstfrvunirn  24685  orvclteinc  24686  ballotlemsima  24726  ballotlemfrcn0  24740  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem5  24770  lgambdd  24774  axlowdimlem16  25800  axcontlem8  25814  axcontlem10  25816  mblfinlem  26143  mblfinlem2  26144  mblfinlem3  26145  ismblfin  26146  itg2addnc  26158  iblmulc2nc  26169  bddiblnc  26174  filbcmb  26332  trirn  26347  geomcau  26355  prdsbnd  26392  cntotbnd  26395  bfplem2  26422  rrntotbnd  26435  iccbnd  26439  lzunuz  26716  irrapxlem3  26777  irrapxlem4  26778  irrapxlem5  26779  pellexlem2  26783  pell1qrge1  26823  monotoddzzfi  26895  jm2.17a  26915  rmygeid  26919  fzmaxdif  26936  jm2.27c  26968  jm3.1lem1  26978  expdiophlem1  26982  fmul01  27577  fmul01lt1lem1  27581  fmul01lt1lem2  27582  climsuselem1  27600  climsuse  27601  stoweidlem1  27617  stoweidlem3  27619  stoweidlem5  27621  stoweidlem11  27627  stoweidlem17  27633  stoweidlem20  27636  stoweidlem26  27642  stoweidlem34  27650  wallispilem4  27684  stirlinglem11  27700  stirlinglem12  27701  stirlinglem13  27702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082
  Copyright terms: Public domain W3C validator