MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letr Structured version   Unicode version

Theorem letr 9674
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 leloe 9667 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C 
<->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) ) )
4 lelttr 9671 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
5 ltle 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C )
)
653adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C ) )
74, 6syld 44 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <_  C
) )
87expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  < 
C  ->  A  <_  C ) )
9 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  C ) )
109biimpcd 224 . . . . 5  |-  ( A  <_  B  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
128, 11jaod 380 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( ( B  <  C  \/  B  =  C )  ->  A  <_  C ) )
133, 12sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C  ->  A  <_  C
) )
1413expimpd 603 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9487    < clt 9624    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  letri  9709  letrd  9734  le2add  10030  le2sub  10047  p1le  10381  lemul12b  10395  lemul12a  10396  zletr  10903  peano2uz2  10944  uztrn  11094  uzss  11098  elfz1b  11744  elfz0fzfz0  11773  fz0fzelfz0  11774  fz0fzdiffz0  11777  elfzmlbm  11778  elfzmlbp  11779  difelfznle  11782  ssfzoulel  11870  ssfzo12bi  11871  flge  11906  monoord  12100  leexp2r  12185  expubnd  12188  le2sq2  12205  facwordi  12329  faclbnd3  12332  facavg  12341  brfi1uzind  12492  swrdswrdlem  12641  swrdccat  12675  sqrlem1  13033  sqrlem6  13038  sqrlem7  13039  leabs  13089  limsupbnd2  13262  rlim3  13277  lo1bdd2  13303  lo1bddrp  13304  o1lo1  13316  lo1mul  13406  lo1le  13430  isercolllem2  13444  iseraltlem2  13461  fsumabs  13571  cvgrat  13648  ruclem9  13825  algcvga  14060  prmfac1  14111  eulerthlem2  14164  modprm0  14182  prmreclem1  14286  prmreclem4  14289  4sqlem11  14325  vdwnnlem3  14367  gsumbagdiaglem  17795  zntoslem  18359  cnllycmp  21188  evth  21191  ovoliunlem2  21646  ovolicc2lem3  21662  itg2monolem1  21889  coeaddlem  22377  coemullem  22378  aalioulem5  22463  aalioulem6  22464  sincosq1lem  22620  emcllem6  23055  ftalem3  23073  fsumvma2  23214  chpchtsum  23219  bcmono  23277  bposlem5  23288  lgsquadlem1  23354  dchrisum0lem1  23426  pntrsumbnd2  23477  pntleml  23521  brbtwn2  23881  axlowdimlem17  23934  axlowdim  23937  wwlksubclwwlk  24477  clwlkfclwwlk  24517  eupath2  24653  nmoub3i  25361  ubthlem1  25459  ubthlem2  25460  nmopub2tALT  26501  nmfnleub2  26518  lnconi  26625  leoptr  26729  pjnmopi  26740  cdj3lem2b  27029  eulerpartlemb  27944  ltflcei  29617  lxflflp1  29619  itg2addnclem2  29642  itg2addnclem3  29643  itg2addnc  29644  bddiblnc  29660  dvasin  29678  incsequz  29842  mettrifi  29851  equivbnd  29887  bfplem1  29919  jm2.17b  30501  fmul01lt1lem2  31135  eluzge0nn0  31798  elfz2z  31800
  Copyright terms: Public domain W3C validator