MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letr Structured version   Unicode version

Theorem letr 9578
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 leloe 9571 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C 
<->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) ) )
4 lelttr 9575 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
5 ltle 9573 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C )
)
653adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C ) )
74, 6syld 44 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <_  C
) )
87expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  < 
C  ->  A  <_  C ) )
9 breq2 4403 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  C ) )
109biimpcd 224 . . . . 5  |-  ( A  <_  B  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
128, 11jaod 380 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( ( B  <  C  \/  B  =  C )  ->  A  <_  C ) )
133, 12sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C  ->  A  <_  C
) )
1413expimpd 603 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4399   RRcr 9391    < clt 9528    <_ cle 9529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534
This theorem is referenced by:  letri  9613  letrd  9638  le2add  9931  le2sub  9948  p1le  10282  lemul12b  10296  lemul12a  10297  zletr  10799  peano2uz2  10839  uzletr  10979  uztrn  10987  uzss  10991  elfz0fzfz0  11601  fz0fzelfz0  11602  fz0fzdiffz0  11605  elfzmlbm  11606  elfzmlbp  11607  elfz1b  11643  ssfzoulel  11737  ssfzo12bi  11738  flge  11771  monoord  11952  leexp2r  12037  expubnd  12040  le2sq2  12057  facwordi  12181  faclbnd3  12184  facavg  12193  brfi1uzind  12336  swrdswrdlem  12470  swrdccat  12501  sqrlem1  12849  sqrlem6  12854  sqrlem7  12855  leabs  12905  limsupbnd2  13078  rlim3  13093  lo1bdd2  13119  lo1bddrp  13120  o1lo1  13132  lo1mul  13222  lo1le  13246  isercolllem2  13260  iseraltlem2  13277  fsumabs  13381  cvgrat  13460  ruclem9  13637  algcvga  13871  prmfac1  13921  eulerthlem2  13974  modprm0  13990  prmreclem1  14094  prmreclem4  14097  4sqlem11  14133  vdwnnlem3  14175  gsumbagdiaglem  17567  zntoslem  18113  cnllycmp  20659  evth  20662  ovoliunlem2  21117  ovolicc2lem3  21133  itg2monolem1  21360  coeaddlem  21848  coemullem  21849  aalioulem5  21934  aalioulem6  21935  sincosq1lem  22091  emcllem6  22526  ftalem3  22544  fsumvma2  22685  chpchtsum  22690  bcmono  22748  bposlem5  22759  lgsquadlem1  22825  dchrisum0lem1  22897  pntrsumbnd2  22948  pntleml  22992  brbtwn2  23302  axlowdimlem17  23355  axlowdim  23358  eupath2  23752  nmoub3i  24324  ubthlem1  24422  ubthlem2  24423  nmopub2tALT  25464  nmfnleub2  25481  lnconi  25588  leoptr  25692  pjnmopi  25703  cdj3lem2b  25992  eulerpartlemb  26894  ltflcei  28566  lxflflp1  28568  itg2addnclem2  28591  itg2addnclem3  28592  itg2addnc  28593  bddiblnc  28609  dvasin  28627  incsequz  28791  mettrifi  28800  equivbnd  28836  bfplem1  28868  jm2.17b  29451  fmul01lt1lem2  29913  eluzge0nn0  30336  uzuzle  30337  elfz2z  30345  wwlksubclwwlk  30613  difelfznle  30635  clwlkfclwwlk  30664
  Copyright terms: Public domain W3C validator