MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letr Unicode version

Theorem letr 9123
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 leloe 9117 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C 
<->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) ) )
4 lelttr 9121 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
5 ltle 9119 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C )
)
653adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C ) )
74, 6syld 42 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <_  C
) )
87expdimp 427 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  < 
C  ->  A  <_  C ) )
9 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  C ) )
109biimpcd 216 . . . . 5  |-  ( A  <_  B  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
1110adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
128, 11jaod 370 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( ( B  <  C  \/  B  =  C )  ->  A  <_  C ) )
133, 12sylbid 207 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C  ->  A  <_  C
) )
1413expimpd 587 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  letri  9158  letrd  9183  le2add  9466  le2sub  9483  p1le  9809  lemul12b  9823  lemul12a  9824  peano2uz2  10313  uztrn  10458  uzss  10462  flge  11169  monoord  11308  leexp2r  11392  expubnd  11395  le2sq2  11412  facwordi  11535  faclbnd3  11538  facavg  11547  brfi1uzind  11670  sqrlem1  12003  sqrlem6  12008  sqrlem7  12009  leabs  12059  limsupbnd2  12232  rlim3  12247  lo1bdd2  12273  lo1bddrp  12274  o1lo1  12286  lo1mul  12376  lo1le  12400  isercolllem2  12414  iseraltlem2  12431  fsumabs  12535  cvgrat  12615  ruclem9  12792  algcvga  13025  prmfac1  13073  eulerthlem2  13126  prmreclem1  13239  prmreclem4  13242  4sqlem11  13278  vdwnnlem3  13320  gsumbagdiaglem  16395  zntoslem  16792  cnllycmp  18934  evth  18937  ovoliunlem2  19352  ovolicc2lem3  19368  itg2monolem1  19595  coeaddlem  20120  coemullem  20121  aalioulem5  20206  aalioulem6  20207  sincosq1lem  20358  emcllem6  20792  ftalem3  20810  fsumvma2  20951  chpchtsum  20956  bcmono  21014  bposlem5  21025  lgsquadlem1  21091  dchrisum0lem1  21163  pntrsumbnd2  21214  pntleml  21258  eupath2  21655  nmoub3i  22227  ubthlem1  22325  ubthlem2  22326  nmopub2tALT  23365  nmfnleub2  23382  lnconi  23489  leoptr  23593  pjnmopi  23604  cdj3lem2b  23893  brbtwn2  25748  axlowdimlem17  25801  axlowdim  25804  ltflcei  26140  lxflflp1  26142  itg2addnclem2  26156  itg2addnclem3  26157  itg2addnc  26158  bddiblnc  26174  incsequz  26342  mettrifi  26353  equivbnd  26389  bfplem1  26421  jm2.17b  26916  fmul01lt1lem2  27582  elfzmlbm  27977  elfzmlbp  27978  zletr  27980  swrd0swrd  28009  swrdswrdlem  28010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082
  Copyright terms: Public domain W3C validator