Theorem letr 6695

Description: Transitive law.

Assertion

Ref	Expression
letr	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <_ B /\ B <_ C) -> A <_ C))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 6688	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (B <_ C <-> (B < C \/ B = C)))
2	1	3adant1 894	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (B <_ C <-> (B < C \/ B = C)))
3	2	adantr 425	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ A <_ B) -> (B <_ C <-> (B < C \/ B = C)))
4		lelttr 6693	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <_ B /\ B < C) -> A < C))
5		ltle 6690	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A < C -> A <_ C))
6	5	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < C -> A <_ C))
7	4, 6	syld 30	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <_ B /\ B < C) -> A <_ C))
8	7	expdimp 406	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ A <_ B) -> (B < C -> A <_ C))
9		breq2 3342	. . . . . 6 |- (B = C -> (A <_ B <-> A <_ C))
10	9	biimpcd 172	. . . . 5 |- (A <_ B -> (B = C -> A <_ C))
11	10	adantl 424	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ A <_ B) -> (B = C -> A <_ C))
12	8, 11	jaod 469	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ A <_ B) -> ((B < C \/ B = C) -> A <_ C))
13	3, 12	sylbid 220	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ A <_ B) -> (B <_ C -> A <_ C))
14	13	expimpd 404	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <_ B /\ B <_ C) -> A <_ C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  RRcr 6385   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem is referenced by:  letrd 6696  letri 6763  p1le 6995  lemul12b 7024  lemul12aOLD 7025  lemul12a 7026  maxle 7101  lemin 7104  peano2uz2 7413  flge 7472  flwordi 7477  icounlem 7581  uztrn 7597  uzss 7600  elfzle3 7655  elfz2nn0 7667  fzss1 7675  fzss2 7676  ser1add2i 7751  ser1addi 7752  expubnd 7853  le2sq2 7877  leabs 8115  cau5ii 8169  cau4ii 8170  cau5i 8171  cvg3i 8175  cvganz 8176  ser1absdiflem 8181  facwordi 8196  faclbnd3 8199  facavg 8207  bccl2 8223  fsumcmp 8300  fsumabs 8303  clm3i 8339  climaddlem3 8376  climmullem8 8387  climsqueeze 8400  climsqueeze2 8401  climubii 8413  caucvgi 8423  ser1cmp2lem 8436  cvgcmpi 8445  cvgcmpubi 8446  xplm 9253  bcthlem2 9278  vacnlem3 9669  nmoub3i 9775  ubthlem5 9876  htthlem10 9976  pilem2 10021  sincosq1lem 10052  nmopub2tALT 11470  nmfnleub2 11487  leoptr 11708  pjnmopi 11719  cdj3lem2b 12009  fnn0ind 13611  algcvga 13747  fzsplit 15792  fzdisj 15793  incsequz 15815  mettrifi 15847  heiborlem16 15970  bfplem6 16003  strssp1 16713

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain