MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letr Structured version   Unicode version

Theorem letr 9681
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 leloe 9674 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 1015 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C 
<->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) ) )
4 lelttr 9678 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
5 ltle 9676 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C )
)
653adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C ) )
74, 6syld 44 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <_  C
) )
87expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  < 
C  ->  A  <_  C ) )
9 breq2 4441 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  C ) )
109biimpcd 224 . . . . 5  |-  ( A  <_  B  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
128, 11jaod 380 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( ( B  <  C  \/  B  =  C )  ->  A  <_  C ) )
133, 12sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C  ->  A  <_  C
) )
1413expimpd 603 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   RRcr 9494    < clt 9631    <_ cle 9632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637
This theorem is referenced by:  letri  9716  letrd  9742  le2add  10041  le2sub  10058  p1le  10392  lemul12b  10406  lemul12a  10407  zletr  10915  peano2uz2  10957  elfz1b  11759  elfz0fzfz0  11790  fz0fzelfz0  11791  fz0fzdiffz0  11794  elfzmlbmOLD  11796  elfzmlbp  11797  difelfznle  11800  ssfzoulel  11888  ssfzo12bi  11889  flge  11924  flflp1  11926  monoord  12119  leexp2r  12205  expubnd  12208  le2sq2  12225  facwordi  12349  faclbnd3  12352  facavg  12361  brfi1uzind  12514  swrdswrdlem  12666  swrdccat  12700  sqrlem1  13058  sqrlem6  13063  sqrlem7  13064  leabs  13114  limsupbnd2  13288  rlim3  13303  lo1bdd2  13329  lo1bddrp  13330  o1lo1  13342  lo1mul  13432  lo1le  13456  isercolllem2  13470  iseraltlem2  13487  fsumabs  13597  cvgrat  13674  ruclem9  13953  algcvga  14190  prmfac1  14241  eulerthlem2  14294  modprm0  14312  prmreclem1  14416  prmreclem4  14419  4sqlem11  14455  vdwnnlem3  14497  gsumbagdiaglem  18006  zntoslem  18573  cnllycmp  21434  evth  21437  ovoliunlem2  21892  ovolicc2lem3  21908  itg2monolem1  22135  coeaddlem  22624  coemullem  22625  aalioulem5  22710  aalioulem6  22711  sincosq1lem  22868  emcllem6  23308  ftalem3  23326  fsumvma2  23467  chpchtsum  23472  bcmono  23530  bposlem5  23541  lgsquadlem1  23607  dchrisum0lem1  23679  pntrsumbnd2  23730  pntleml  23774  brbtwn2  24186  axlowdimlem17  24239  axlowdim  24242  wwlksubclwwlk  24782  clwlkfclwwlk  24822  eupath2  24958  nmoub3i  25666  ubthlem1  25764  ubthlem2  25765  nmopub2tALT  26806  nmfnleub2  26823  lnconi  26930  leoptr  27034  pjnmopi  27045  cdj3lem2b  27334  eulerpartlemb  28285  ltflcei  30019  itg2addnclem2  30043  itg2addnclem3  30044  itg2addnc  30045  bddiblnc  30061  dvasin  30079  incsequz  30217  mettrifi  30226  equivbnd  30262  bfplem1  30294  jm2.17b  30875  fmul01lt1lem2  31533  eluzge0nn0  32283  elfz2z  32285
  Copyright terms: Public domain W3C validator