MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem letr 9727
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 leloe 9720 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 1026 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
32adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C 
<->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) ) )
4 lelttr 9724 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
5 ltle 9722 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C )
)
653adant2 1027 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C ) )
74, 6syld 45 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <_  C
) )
87expdimp 439 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  < 
C  ->  A  <_  C ) )
9 breq2 4406 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  C ) )
109biimpcd 228 . . . . 5  |-  ( A  <_  B  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
1110adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
128, 11jaod 382 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( ( B  <  C  \/  B  =  C )  ->  A  <_  C ) )
133, 12sylbid 219 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C  ->  A  <_  C
) )
1413expimpd 608 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   RRcr 9538    < clt 9675    <_ cle 9676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681
This theorem is referenced by:  letri  9763  letrd  9792  le2add  10096  le2sub  10113  p1le  10448  lemul12b  10462  lemul12a  10463  zletr  10981  peano2uz2  11023  elfz1b  11864  elfz0fzfz0  11895  fz0fzelfz0  11896  fz0fzdiffz0  11899  elfzmlbmOLD  11901  elfzmlbp  11902  difelfznle  11905  elincfzoext  11972  ssfzoulel  12005  ssfzo12bi  12006  flge  12041  flflp1  12043  monoord  12243  leexp2r  12330  expubnd  12333  le2sq2  12350  facwordi  12474  faclbnd3  12477  facavg  12486  fi1uzind  12650  swrdswrdlem  12815  swrdccat  12849  sqrlem1  13306  sqrlem6  13311  sqrlem7  13312  leabs  13362  limsupbnd2  13546  limsupbnd2OLD  13547  rlim3  13562  lo1bdd2  13588  lo1bddrp  13589  o1lo1  13601  lo1mul  13691  lo1le  13715  isercolllem2  13729  iseraltlem2  13749  fsumabs  13861  cvgrat  13939  ruclem9  14290  algcvga  14538  prmdvdsfz  14649  prmfac1  14671  eulerthlem2  14730  modprm0  14756  prmreclem1  14860  prmreclem4  14863  4sqlem11  14899  vdwnnlem3  14947  gsumbagdiaglem  18599  zntoslem  19127  cnllycmp  21984  evth  21987  ovoliunlem2  22456  ovolicc2lem3  22472  itg2monolem1  22708  coeaddlem  23203  coemullem  23204  aalioulem5  23292  aalioulem6  23293  sincosq1lem  23452  emcllem6  23926  ftalem3  23999  fsumvma2  24142  chpchtsum  24147  bcmono  24205  bposlem5  24216  lgsquadlem1  24282  dchrisum0lem1  24354  pntrsumbnd2  24405  pntleml  24449  brbtwn2  24935  axlowdimlem17  24988  axlowdim  24991  wwlksubclwwlk  25532  clwlkfclwwlk  25572  eupath2  25708  nmoub3i  26414  ubthlem1  26512  ubthlem2  26513  nmopub2tALT  27562  nmfnleub2  27579  lnconi  27686  leoptr  27790  pjnmopi  27801  cdj3lem2b  28090  eulerpartlemb  29201  isbasisrelowllem1  31758  isbasisrelowllem2  31759  ltflcei  31933  itg2addnclem2  31994  itg2addnclem3  31995  itg2addnc  31996  bddiblnc  32012  dvasin  32028  incsequz  32077  mettrifi  32086  equivbnd  32122  bfplem1  32154  jm2.17b  35811  fmul01lt1lem2  37663  iccpartiltu  38736  iccpartgt  38741  eluzge0nn0  39053  elfz2z  39055
  Copyright terms: Public domain W3C validator