MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesubadd2d Structured version   Unicode version

Theorem lesubadd2d 9930
Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
lesubadd2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  <_  C  <->  A  <_  ( B  +  C ) ) )

Proof of Theorem lesubadd2d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltadd1d.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 lesubadd2 9804 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( B  +  C ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  <_  C  <->  A  <_  ( B  +  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1756   class class class wbr 4285  (class class class)co 6086   RRcr 9273    + caddc 9277    <_ cle 9411    - cmin 9587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  20235  cnllycmp  20497  ipcnlem2  20725  cncmet  20802  minveclem3b  20884  volcn  21055  vitalilem2  21058  dvfsumlem2  21468  dvfsum2  21475  coemullem  21686  coemulhi  21690  aaliou3lem7  21784  emcllem2  22359  harmonicubnd  22372  harmonicbnd4  22373  chpub  22528  vmalogdivsum2  22756  pntrsumo1  22783  pntrlog2bndlem5  22799  pntpbnd2  22805  pntlemo  22825  lgambdd  26971  mblfinlem3  28373  mblfinlem4  28374  iccbnd  28682  2elfz2melfz  30145  erclwwlktr0  30422  difelfznle  30431
  Copyright terms: Public domain W3C validator