MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesub1dd Structured version   Unicode version

Theorem lesub1dd 10228
Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lesub1dd  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  <_  ( B  -  C ) )

Proof of Theorem lesub1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4lesub1d 10219 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  -  C )  <_  ( B  -  C ) ) )
61, 5mpbid 213 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  <_  ( B  -  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   RRcr 9537    <_ cle 9675    - cmin 9859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862
This theorem is referenced by:  elfzmlbm  11898  modmulnn  12111  rlimrege0  13621  climsqz2  13683  rlimsqz2  13692  isercolllem1  13706  caucvgrlem  13714  caucvgrlemOLD  13715  climcndslem1  13885  bitsinv1lem  14389  hashdvds  14692  4sqlem6  14850  dvfsumlem2  22856  dvfsumlem4  22858  dvfsum2  22863  isosctrlem1  23612  lgamgulmlem2  23820  basellem9  23878  ppiub  23995  chtub  24003  logfaclbnd  24013  bposlem1  24075  bposlem6  24080  selberg2lem  24251  pntpbnd2  24288  pntlemo  24308  ttgcontlem1  24761  axpaschlem  24816  axcontlem8  24847  eluzmn  29211  poimirlem6  31650  poimirlem7  31651  itg2addnclem3  31699  iccbnd  31876  icodiamlt  35374  jm2.24nn  35515  fzmaxdif  35537  areaquad  35800  monoords  37123  iccshift  37204  climinf  37256  climinfOLD  37257  sumnnodd  37282  dvnmul  37387  itgiccshift  37426  itgperiod  37427  itgsbtaddcnst  37428  stoweidlem13  37442  stoweidlem26  37455  stoweidlem34  37464  fourierdlem19  37557  fourierdlem42  37580  fourierdlem74  37612  fourierdlem75  37613  fourierdlem79  37617  fourierdlem81  37619  fourierdlem82  37620  fourierdlem103  37641  fourierdlem104  37642  fouriersw  37663  bgoldbtbndlem2  38300
  Copyright terms: Public domain W3C validator