Theorem lesub0 6867

Description: Lemma to show a nonnegative number is zero.

Assertion

Ref	Expression
lesub0	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <_ A /\ B <_ (B - A)) <-> A = 0))

Proof of Theorem lesub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3342	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (0 <_ A <-> 0 <_ if(A e. RR, A, 0)))
2		opreq2 4890	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (B - A) = (B - if(A e. RR, A, 0)))
3	2	breq2d 3350	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (B <_ (B - A) <-> B <_ (B - if(A e. RR, A, 0))))
4	1, 3	anbi12d 690	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((0 <_ A /\ B <_ (B - A)) <-> (0 <_ if(A e. RR, A, 0) /\ B <_ (B - if(A e. RR, A, 0)))))
5		eqeq1 1890	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A = 0 <-> if(A e. RR, A, 0) = 0))
6	4, 5	bibi12d 691	. 2 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (((0 <_ A /\ B <_ (B - A)) <-> A = 0) <-> ((0 <_ if(A e. RR, A, 0) /\ B <_ (B - if(A e. RR, A, 0))) <-> if(A e. RR, A, 0) = 0)))
7		id 73	. . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> B = if(B e. RR, B, 0))
8		opreq1 4889	. . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (B - if(A e. RR, A, 0)) = (if(B e. RR, B, 0) - if(A e. RR, A, 0)))
9	7, 8	breq12d 3351	. . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (B <_ (B - if(A e. RR, A, 0)) <-> if(B e. RR, B, 0) <_ (if(B e. RR, B, 0) - if(A e. RR, A, 0))))
10	9	anbi2d 678	. . 3 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((0 <_ if(A e. RR, A, 0) /\ B <_ (B - if(A e. RR, A, 0))) <-> (0 <_ if(A e. RR, A, 0) /\ if(B e. RR, B, 0) <_ (if(B e. RR, B, 0) - if(A e. RR, A, 0)))))
11	10	bibi1d 681	. 2 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (((0 <_ if(A e. RR, A, 0) /\ B <_ (B - if(A e. RR, A, 0))) <-> if(A e. RR, A, 0) = 0) <-> ((0 <_ if(A e. RR, A, 0) /\ if(B e. RR, B, 0) <_ (if(B e. RR, B, 0) - if(A e. RR, A, 0))) <-> if(A e. RR, A, 0) = 0)))
12		0re 6603	. . . 4 |- 0 e. RR
13	12	elimel 3025	. . 3 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
14	12	elimel 3025	. . 3 |- if(B e. RR, B, 0) e. RR
15	13, 14	lesub0i 6792	. 2 |- ((0 <_ if(A e. RR, A, 0) /\ if(B e. RR, B, 0) <_ (if(B e. RR, B, 0) - if(A e. RR, A, 0))) <-> if(A e. RR, A, 0) = 0)
16	6, 11, 15	dedth2h 3015	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <_ A /\ B <_ (B - A)) <-> A = 0))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ifcif 2982   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   <_ cle 6448

This theorem is referenced by:  pjthlem10 10861

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain