MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lern Structured version   Unicode version

Theorem lern 15972
Description: The range of  <_ is  RR*. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lern  |-  RR*  =  ran  <_

Proof of Theorem lern
StepHypRef Expression
1 xrleid 11277 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
2 lerel 9562 . . . . 5  |-  Rel  <_
32relelrni 5153 . . . 4  |-  ( x  <_  x  ->  x  e.  ran  <_  )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  e. 
ran  <_  )
54ssriv 3421 . 2  |-  RR*  C_  ran  <_
6 lerelxr 9561 . . . 4  |-  <_  C_  ( RR*  X.  RR* )
7 rnss 5144 . . . 4  |-  (  <_  C_  ( RR*  X.  RR* )  ->  ran  <_  C_  ran  ( RR*  X.  RR* ) )
86, 7ax-mp 5 . . 3  |-  ran  <_  C_ 
ran  ( RR*  X.  RR* )
9 rnxpss 5349 . . 3  |-  ran  ( RR*  X.  RR* )  C_  RR*
108, 9sstri 3426 . 2  |-  ran  <_  C_ 
RR*
115, 10eqssi 3433 1  |-  RR*  =  ran  <_
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399    e. wcel 1826    C_ wss 3389   class class class wbr 4367    X. cxp 4911   ran crn 4914   RR*cxr 9538    <_ cle 9540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545
This theorem is referenced by:  lefld  15973  cnvordtrestixx  28049  xrge0iifhmeo  28072
  Copyright terms: Public domain W3C validator