MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lerec2 Structured version   Unicode version

Theorem lerec2 10439
Description: Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
lerec2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  <_  (
1  /  B )  <-> 
B  <_  ( 1  /  A ) ) )

Proof of Theorem lerec2
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 10023 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  ->  B  =/=  0 )
2 rereccl 10268 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR )
31, 2syldan 470 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR )
4 recgt0 10392 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
0  <  ( 1  /  B ) )
53, 4jca 532 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
( ( 1  /  B )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  B ) ) )
6 lerec 10433 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( ( 1  /  B )  e.  RR  /\  0  < 
( 1  /  B
) ) )  -> 
( A  <_  (
1  /  B )  <-> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  <_  ( 1  /  A ) ) )
75, 6sylan2 474 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  <_  (
1  /  B )  <-> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  <_  ( 1  /  A ) ) )
8 recn 9585 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
9 recrec 10247 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  B )
108, 9sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  B )
111, 10syldan 470 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  B )
1211adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  B )
1312breq1d 4447 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( 1  / 
( 1  /  B
) )  <_  (
1  /  A )  <-> 
B  <_  ( 1  /  A ) ) )
147, 13bitrd 253 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  <_  (
1  /  B )  <-> 
B  <_  ( 1  /  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    < clt 9631    <_ cle 9632    / cdiv 10212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213
This theorem is referenced by:  lerec2d  11286  birthdaylem3  23155  elpell1qr2  30783
  Copyright terms: Public domain W3C validator