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Theorem lerabdioph 30981
Description: Diophantine set builder for the less or equals relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lerabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  <_  B }  e.  (Dioph `  N
) )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hints:    A( t)    B( t)

Proof of Theorem lerabdioph
StepHypRef Expression
1 rabdiophlem1 30977 . . . 4  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
2 rabdiophlem1 30977 . . . 4  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) B  e.  ZZ )
3 znn0sub 10907 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN0 ) )
43ralimi 2847 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) ( A  <_  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN0 ) )
5 r19.26 2981 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <->  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) A  e.  ZZ  /\  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) B  e.  ZZ ) )
6 rabbi 3033 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  <_  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN0 ) 
<->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  <_  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ( B  -  A )  e.  NN0 } )
74, 5, 63imtr3i 265 . . . 4  |-  ( ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ  /\  A. t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) B  e.  ZZ )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  <_  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ( B  -  A )  e.  NN0 } )
81, 2, 7syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  <_  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ( B  -  A )  e.  NN0 } )
983adant1 1012 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  <_  B }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ( B  -  A )  e.  NN0 } )
10 simp1 994 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
11 mzpsubmpt 30918 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( B  -  A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
1211ancoms 451 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( B  -  A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
13123adant1 1012 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( B  -  A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
14 elnn0rabdioph 30979 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  ( B  -  A
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  ( B  -  A )  e.  NN0 }  e.  (Dioph `  N
) )
1510, 13, 14syl2anc 659 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  ( B  -  A )  e.  NN0 }  e.  (Dioph `  N
) )
169, 15eqeltrd 2542 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  B )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  <_  B }  e.  (Dioph `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   1c1 9482    <_ cle 9618    - cmin 9796   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11675  mzPolycmzp 30897  Diophcdioph 30930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12391  df-mzpcl 30898  df-mzp 30899  df-dioph 30931
This theorem is referenced by:  eluzrabdioph  30982  rmydioph  31198
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