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Theorem leordtvallem2 18928
Description: Lemma for leordtval 18930. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtvallem2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem leordtvallem2
StepHypRef Expression
1 leordtval.2 . 2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
2 icossxr 11478 . . . . . 6  |-  ( -oo [,) x )  C_  RR*
3 dfss1 3650 . . . . . 6  |-  ( ( -oo [,) x ) 
C_  RR*  <->  ( RR*  i^i  ( -oo [,) x ) )  =  ( -oo [,) x ) )
42, 3mpbi 208 . . . . 5  |-  ( RR*  i^i  ( -oo [,) x
) )  =  ( -oo [,) x )
5 mnfxr 11192 . . . . . . . 8  |- -oo  e.  RR*
6 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  x  e.  RR* )
7 elico1 11441 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y  /\  y  <  x
) ) )
85, 6, 7sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y  /\  y  <  x
) ) )
9 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  e.  RR* )
10 mnfle 11211 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  -> -oo  <_  y )
119, 10jccir 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y ) )
1211biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  ( (
y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y )  /\  y  <  x ) ) )
13 df-3an 967 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y  /\  y  < 
x )  <->  ( (
y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y )  /\  y  <  x ) )
1412, 13syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  ( y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y  /\  y  <  x
) ) )
15 xrltnle 9541 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
1615ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
178, 14, 163bitr2d 281 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  -.  x  <_  y ) )
1817rabbi2dva 3653 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( RR*  i^i  ( -oo [,) x
) )  =  {
y  e.  RR*  |  -.  x  <_  y } )
194, 18syl5eqr 2505 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo [,) x )  =  {
y  e.  RR*  |  -.  x  <_  y } )
2019mpteq2ia 4469 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  -.  x  <_  y } )
2120rneqi 5161 . 2  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
221, 21eqtri 2479 1  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2797    i^i cin 3422    C_ wss 3423   class class class wbr 4387    |-> cmpt 4445   ran crn 4936  (class class class)co 6187   +oocpnf 9513   -oocmnf 9514   RR*cxr 9515    < clt 9516    <_ cle 9517   (,]cioc 11399   [,)cico 11400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-ico 11404
This theorem is referenced by:  leordtval2  18929  leordtval  18930
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