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Theorem leordtvallem2 20005
Description: Lemma for leordtval 20007. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtvallem2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem leordtvallem2
StepHypRef Expression
1 leordtval.2 . 2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
2 icossxr 11663 . . . . . 6  |-  ( -oo [,) x )  C_  RR*
3 dfss1 3644 . . . . . 6  |-  ( ( -oo [,) x ) 
C_  RR*  <->  ( RR*  i^i  ( -oo [,) x ) )  =  ( -oo [,) x ) )
42, 3mpbi 208 . . . . 5  |-  ( RR*  i^i  ( -oo [,) x
) )  =  ( -oo [,) x )
5 mnfxr 11376 . . . . . . . 8  |- -oo  e.  RR*
6 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  x  e.  RR* )
7 elico1 11625 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y  /\  y  <  x
) ) )
85, 6, 7sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  ( y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y  /\  y  <  x
) ) )
9 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  e.  RR* )
10 mnfle 11395 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  -> -oo  <_  y )
119, 10jccir 537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y ) )
1211biantrurd 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  ( (
y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y )  /\  y  <  x ) ) )
13 df-3an 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y  /\  y  < 
x )  <->  ( (
y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y )  /\  y  <  x ) )
1412, 13syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  ( y  e.  RR*  /\ -oo  <_  y  /\  y  <  x
) ) )
15 xrltnle 9683 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
1615ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
178, 14, 163bitr2d 281 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( -oo [,) x )  <->  -.  x  <_  y ) )
1817rabbi2dva 3647 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( RR*  i^i  ( -oo [,) x
) )  =  {
y  e.  RR*  |  -.  x  <_  y } )
194, 18syl5eqr 2457 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo [,) x )  =  {
y  e.  RR*  |  -.  x  <_  y } )
2019mpteq2ia 4477 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  -.  x  <_  y } )
2120rneqi 5050 . 2  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
221, 21eqtri 2431 1  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758    i^i cin 3413    C_ wss 3414   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ran crn 4824  (class class class)co 6278   +oocpnf 9655   -oocmnf 9656   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   (,]cioc 11583   [,)cico 11584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-ico 11588
This theorem is referenced by:  leordtval2  20006  leordtval  20007
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