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Theorem leordtval2 18947
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtval2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 15515 . . 3  |-  <_  e.  TosetRel
2 ledm 15512 . . . 4  |-  RR*  =  dom  <_
3 leordtval.1 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
43leordtvallem1 18945 . . . 4  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
5 leordtval.2 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
63, 5leordtvallem2 18946 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
72, 4, 6ordtval 18924 . . 3  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
81, 7ax-mp 5 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
9 snex 4640 . . . . 5  |-  { RR* }  e.  _V
10 xrex 11098 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
1110pwex 4582 . . . . . 6  |-  ~P RR*  e.  _V
12 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
13 iocssxr 11489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,] +oo )  C_  RR*
1410elpw2 4563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,] +oo )  e.  ~P RR*  <->  ( x (,] +oo )  C_  RR* )
1513, 14mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,] +oo )  e. 
~P RR*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x (,] +oo )  e. 
~P RR* )
1712, 16fmpti 5974 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) : RR* --> ~P RR*
18 frn 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) : RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  C_  ~P RR* )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) 
C_  ~P RR*
203, 19eqsstri 3493 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~P RR*
21 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
22 icossxr 11490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo [,) x )  C_  RR*
2310elpw2 4563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,) x )  e.  ~P RR*  <->  ( -oo [,) x )  C_  RR* )
2422, 23mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) x )  e.  ~P RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo [,) x )  e.  ~P RR* )
2621, 25fmpti 5974 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*
27 frn 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  C_  ~P RR* )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  C_  ~P RR*
295, 28eqsstri 3493 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~P RR*
3020, 29unssi 3638 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ~P RR*
3111, 30ssexi 4544 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
329, 31unex 6487 . . . 4  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V
33 ssun2 3627 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )
34 fiss 7784 . . . 4  |-  ( ( ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
3532, 33, 34mp2an 672 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )
36 fvex 5808 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  e.  _V
37 ovex 6224 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,] +oo )  e. 
_V
38 ovex 6224 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  _V
3937, 38unipr 4211 . . . . . . . . 9  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  =  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
40 iocssxr 11489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,] +oo )  C_  RR*
41 icossxr 11490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) 1 )  C_  RR*
4240, 41unssi 3638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1
) )  C_  RR*
43 mnfxr 11204 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
44 0xr 9540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
45 pnfxr 11202 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
46 mnflt0 11215 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
47 0lepnf 11221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_ +oo
48 df-icc 11417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
49 df-ioc 11415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
50 xrltnle 9553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
51 xrletr 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <_  0  /\  0  <_ +oo )  ->  w  <_ +oo ) )
52 xrlttr 11227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <  w )  -> -oo  <  w ) )
53 xrltle 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  w  -> -oo  <_  w ) )
54533adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  ( -oo  <  w  -> -oo  <_  w ) )
5552, 54syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <  w )  -> -oo  <_  w ) )
5648, 49, 50, 48, 51, 55ixxun 11426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  0  /\  0  <_ +oo ) )  -> 
( ( -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,] +oo )
)  =  ( -oo [,] +oo ) )
5746, 47, 56mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( -oo [,] +oo )
)
5843, 44, 45, 57mp3an 1315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( -oo [,] +oo )
59 1re 9495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
6059rexri 9546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
61 0lt1 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
62 df-ico 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
63 xrlelttr 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  1  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  0  /\  0  <  1
)  ->  w  <  1 ) )
6462, 48, 63ixxss2 11429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( -oo [,] 0 )  C_  ( -oo [,) 1 ) )
6560, 61, 64mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo [,] 0 )  C_  ( -oo [,) 1 )
66 unss1 3632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo [,] 0 ) 
C_  ( -oo [,) 1 )  ->  (
( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )
6858, 67eqsstr3i 3494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,] +oo )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )
69 iccmax 11481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*
70 uncom 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
7168, 69, 703sstr3i 3501 . . . . . . . . . 10  |-  RR*  C_  (
( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
7242, 71eqssi 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1
) )  =  RR*
7339, 72eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  =  RR*
74 fvex 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
75 ssun1 3626 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
76 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo )
77 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
x (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) )
7877eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0 (,] +oo )  =  ( x (,] +oo )  <->  ( 0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) ) )
7978rspcev 3177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
)
8044, 76, 79mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
81 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x (,] +oo )  e. 
_V
8212, 81elrnmpti 5197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 (,] +oo )  e.  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
)
8380, 82mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,] +oo )  e. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
8483, 3eleqtrri 2541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  A
8575, 84sselii 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  ( A  u.  B
)
86 ssun2 3627 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
87 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1 )
88 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  ( -oo [,) x )  =  ( -oo [,) 1
) )
8988eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1 ) ) )
9089rspcev 3177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x ) )
9160, 87, 90mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x )
92 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo [,) x )  e.  _V
9321, 92elrnmpti 5197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x ) )
9491, 93mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
9594, 5eleqtrri 2541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  B
9686, 95sselii 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B )
97 prssi 4136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,] +oo )  e.  ( A  u.  B )  /\  ( -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B
) )  ->  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
)
9885, 96, 97mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
99 ssfii 7779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
10031, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
10198, 100sstri 3472 . . . . . . . . 9  |-  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
102 eltg3i 18697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  e.  _V  /\  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  ->  U. { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  e.  (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10374, 101, 102mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
10473, 103eqeltrri 2539 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
105 snssi 4124 . . . . . . 7  |-  ( RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  ->  { RR* }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { RR* } 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
107 bastg 18702 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  _V  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10874, 107ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
109100, 108sstri 3472 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
110106, 109unssi 3638 . . . . 5  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
111 fiss 7784 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
_V  /\  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) ) ) )
11236, 110, 111mp2an 672 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
113 fibas 18713 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases
114 tgcl 18705 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  e.  Top )
115 fitop 18644 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )
116113, 114, 115mp2b 10 . . . 4  |-  ( fi
`  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
117112, 116sseqtri 3495 . . 3  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
118 2basgen 18726 . . 3  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  /\  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) ) )
11935, 117, 118mp2an 672 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) )
1208, 119eqtr4i 2486 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2799   _Vcvv 3076    u. cun 3433    C_ wss 3435   ~Pcpw 3967   {csn 3984   {cpr 3986   U.cuni 4198   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   ran crn 4948   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   ficfi 7770   0cc0 9392   1c1 9393   +oocpnf 9525   -oocmnf 9526   RR*cxr 9527    < clt 9528    <_ cle 9529   (,]cioc 11411   [,)cico 11412   [,]cicc 11413   topGenctg 14494  ordTopcordt 14555    TosetRel ctsr 15487   Topctop 18629   TopBasesctb 18633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fi 7771  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-topgen 14500  df-ordt 14557  df-ps 15488  df-tsr 15489  df-top 18634  df-bases 18636
This theorem is referenced by:  leordtval  18948  lecldbas  18954
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