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Theorem leordtval2 19507
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtval2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 15714 . . 3  |-  <_  e.  TosetRel
2 ledm 15711 . . . 4  |-  RR*  =  dom  <_
3 leordtval.1 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
43leordtvallem1 19505 . . . 4  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
5 leordtval.2 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
63, 5leordtvallem2 19506 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
72, 4, 6ordtval 19484 . . 3  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
81, 7ax-mp 5 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
9 snex 4688 . . . . 5  |-  { RR* }  e.  _V
10 xrex 11217 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
1110pwex 4630 . . . . . 6  |-  ~P RR*  e.  _V
12 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
13 iocssxr 11608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,] +oo )  C_  RR*
1410elpw2 4611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,] +oo )  e.  ~P RR*  <->  ( x (,] +oo )  C_  RR* )
1513, 14mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,] +oo )  e. 
~P RR*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x (,] +oo )  e. 
~P RR* )
1712, 16fmpti 6044 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) : RR* --> ~P RR*
18 frn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) : RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  C_  ~P RR* )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) 
C_  ~P RR*
203, 19eqsstri 3534 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~P RR*
21 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
22 icossxr 11609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo [,) x )  C_  RR*
2310elpw2 4611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,) x )  e.  ~P RR*  <->  ( -oo [,) x )  C_  RR* )
2422, 23mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) x )  e.  ~P RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo [,) x )  e.  ~P RR* )
2621, 25fmpti 6044 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*
27 frn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  C_  ~P RR* )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  C_  ~P RR*
295, 28eqsstri 3534 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~P RR*
3020, 29unssi 3679 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ~P RR*
3111, 30ssexi 4592 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
329, 31unex 6582 . . . 4  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V
33 ssun2 3668 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )
34 fiss 7884 . . . 4  |-  ( ( ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
3532, 33, 34mp2an 672 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )
36 fvex 5876 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  e.  _V
37 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,] +oo )  e. 
_V
38 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  _V
3937, 38unipr 4258 . . . . . . . . 9  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  =  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
40 iocssxr 11608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,] +oo )  C_  RR*
41 icossxr 11609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) 1 )  C_  RR*
4240, 41unssi 3679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1
) )  C_  RR*
43 mnfxr 11323 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
44 0xr 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
45 pnfxr 11321 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
46 mnflt0 11334 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
47 0lepnf 11340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_ +oo
48 df-icc 11536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
49 df-ioc 11534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
50 xrltnle 9653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
51 xrletr 11361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <_  0  /\  0  <_ +oo )  ->  w  <_ +oo ) )
52 xrlttr 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <  w )  -> -oo  <  w ) )
53 xrltle 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  w  -> -oo  <_  w ) )
54533adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  ( -oo  <  w  -> -oo  <_  w ) )
5552, 54syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <  w )  -> -oo  <_  w ) )
5648, 49, 50, 48, 51, 55ixxun 11545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  0  /\  0  <_ +oo ) )  -> 
( ( -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,] +oo )
)  =  ( -oo [,] +oo ) )
5746, 47, 56mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( -oo [,] +oo )
)
5843, 44, 45, 57mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( -oo [,] +oo )
59 1re 9595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
6059rexri 9646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
61 0lt1 10075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
62 df-ico 11535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
63 xrlelttr 11359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  1  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  0  /\  0  <  1
)  ->  w  <  1 ) )
6462, 48, 63ixxss2 11548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( -oo [,] 0 )  C_  ( -oo [,) 1 ) )
6560, 61, 64mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo [,] 0 )  C_  ( -oo [,) 1 )
66 unss1 3673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo [,] 0 ) 
C_  ( -oo [,) 1 )  ->  (
( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )
6858, 67eqsstr3i 3535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,] +oo )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )
69 iccmax 11600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*
70 uncom 3648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
7168, 69, 703sstr3i 3542 . . . . . . . . . 10  |-  RR*  C_  (
( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
7242, 71eqssi 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1
) )  =  RR*
7339, 72eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  =  RR*
74 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
75 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
76 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo )
77 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
x (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) )
7877eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0 (,] +oo )  =  ( x (,] +oo )  <->  ( 0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) ) )
7978rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
)
8044, 76, 79mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
81 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x (,] +oo )  e. 
_V
8212, 81elrnmpti 5253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 (,] +oo )  e.  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
)
8380, 82mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,] +oo )  e. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
8483, 3eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  A
8575, 84sselii 3501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  ( A  u.  B
)
86 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
87 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1 )
88 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  ( -oo [,) x )  =  ( -oo [,) 1
) )
8988eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1 ) ) )
9089rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x ) )
9160, 87, 90mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x )
92 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo [,) x )  e.  _V
9321, 92elrnmpti 5253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x ) )
9491, 93mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
9594, 5eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  B
9686, 95sselii 3501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B )
97 prssi 4183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,] +oo )  e.  ( A  u.  B )  /\  ( -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B
) )  ->  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
)
9885, 96, 97mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
99 ssfii 7879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
10031, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
10198, 100sstri 3513 . . . . . . . . 9  |-  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
102 eltg3i 19257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  e.  _V  /\  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  ->  U. { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  e.  (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10374, 101, 102mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
10473, 103eqeltrri 2552 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
105 snssi 4171 . . . . . . 7  |-  ( RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  ->  { RR* }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { RR* } 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
107 bastg 19262 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  _V  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10874, 107ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
109100, 108sstri 3513 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
110106, 109unssi 3679 . . . . 5  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
111 fiss 7884 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
_V  /\  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) ) ) )
11236, 110, 111mp2an 672 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
113 fibas 19273 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases
114 tgcl 19265 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  e.  Top )
115 fitop 19204 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )
116113, 114, 115mp2b 10 . . . 4  |-  ( fi
`  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
117112, 116sseqtri 3536 . . 3  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
118 2basgen 19286 . . 3  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  /\  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) ) )
11935, 117, 118mp2an 672 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) )
1208, 119eqtr4i 2499 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ficfi 7870   0cc0 9492   1c1 9493   +oocpnf 9625   -oocmnf 9626   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   (,]cioc 11530   [,)cico 11531   [,]cicc 11532   topGenctg 14693  ordTopcordt 14754    TosetRel ctsr 15686   Topctop 19189   TopBasesctb 19193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-topgen 14699  df-ordt 14756  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-top 19194  df-bases 19196
This theorem is referenced by:  leordtval  19508  lecldbas  19514
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