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Theorem leordtval2 19691
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtval2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 15836 . . 3  |-  <_  e.  TosetRel
2 ledm 15833 . . . 4  |-  RR*  =  dom  <_
3 leordtval.1 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
43leordtvallem1 19689 . . . 4  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
5 leordtval.2 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
63, 5leordtvallem2 19690 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
72, 4, 6ordtval 19668 . . 3  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
81, 7ax-mp 5 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
9 snex 4678 . . . . 5  |-  { RR* }  e.  _V
10 xrex 11228 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
1110pwex 4620 . . . . . 6  |-  ~P RR*  e.  _V
12 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
13 iocssxr 11619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,] +oo )  C_  RR*
1410elpw2 4601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,] +oo )  e.  ~P RR*  <->  ( x (,] +oo )  C_  RR* )
1513, 14mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,] +oo )  e. 
~P RR*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x (,] +oo )  e. 
~P RR* )
1712, 16fmpti 6039 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) : RR* --> ~P RR*
18 frn 5727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) : RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  C_  ~P RR* )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) 
C_  ~P RR*
203, 19eqsstri 3519 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~P RR*
21 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
22 icossxr 11620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo [,) x )  C_  RR*
2310elpw2 4601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,) x )  e.  ~P RR*  <->  ( -oo [,) x )  C_  RR* )
2422, 23mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) x )  e.  ~P RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo [,) x )  e.  ~P RR* )
2621, 25fmpti 6039 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*
27 frn 5727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  C_  ~P RR* )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  C_  ~P RR*
295, 28eqsstri 3519 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~P RR*
3020, 29unssi 3664 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ~P RR*
3111, 30ssexi 4582 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
329, 31unex 6583 . . . 4  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V
33 ssun2 3653 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )
34 fiss 7886 . . . 4  |-  ( ( ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
3532, 33, 34mp2an 672 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )
36 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  e.  _V
37 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,] +oo )  e. 
_V
38 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  _V
3937, 38unipr 4247 . . . . . . . . 9  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  =  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
40 iocssxr 11619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,] +oo )  C_  RR*
41 icossxr 11620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) 1 )  C_  RR*
4240, 41unssi 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1
) )  C_  RR*
43 mnfxr 11334 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
44 0xr 9643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
45 pnfxr 11332 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
46 mnflt0 11345 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
47 0lepnf 11351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_ +oo
48 df-icc 11547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
49 df-ioc 11545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
50 xrltnle 9656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
51 xrletr 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <_  0  /\  0  <_ +oo )  ->  w  <_ +oo ) )
52 xrlttr 11357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <  w )  -> -oo  <  w ) )
53 xrltle 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  w  -> -oo  <_  w ) )
54533adant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  ( -oo  <  w  -> -oo  <_  w ) )
5552, 54syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <  w )  -> -oo  <_  w ) )
5648, 49, 50, 48, 51, 55ixxun 11556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  0  /\  0  <_ +oo ) )  -> 
( ( -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,] +oo )
)  =  ( -oo [,] +oo ) )
5746, 47, 56mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( -oo [,] +oo )
)
5843, 44, 45, 57mp3an 1325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( -oo [,] +oo )
59 1re 9598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
6059rexri 9649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
61 0lt1 10082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
62 df-ico 11546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
63 xrlelttr 11370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  1  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  0  /\  0  <  1
)  ->  w  <  1 ) )
6462, 48, 63ixxss2 11559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( -oo [,] 0 )  C_  ( -oo [,) 1 ) )
6560, 61, 64mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo [,] 0 )  C_  ( -oo [,) 1 )
66 unss1 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo [,] 0 ) 
C_  ( -oo [,) 1 )  ->  (
( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )
6858, 67eqsstr3i 3520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,] +oo )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )
69 iccmax 11611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*
70 uncom 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
7168, 69, 703sstr3i 3527 . . . . . . . . . 10  |-  RR*  C_  (
( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
7242, 71eqssi 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1
) )  =  RR*
7339, 72eqtri 2472 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  =  RR*
74 fvex 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
75 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
76 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo )
77 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
x (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) )
7877eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0 (,] +oo )  =  ( x (,] +oo )  <->  ( 0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) ) )
7978rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
)
8044, 76, 79mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
81 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x (,] +oo )  e. 
_V
8212, 81elrnmpti 5243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 (,] +oo )  e.  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
)
8380, 82mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,] +oo )  e. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
8483, 3eleqtrri 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  A
8575, 84sselii 3486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  ( A  u.  B
)
86 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
87 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1 )
88 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  ( -oo [,) x )  =  ( -oo [,) 1
) )
8988eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1 ) ) )
9089rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x ) )
9160, 87, 90mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x )
92 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo [,) x )  e.  _V
9321, 92elrnmpti 5243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x ) )
9491, 93mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
9594, 5eleqtrri 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  B
9686, 95sselii 3486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B )
97 prssi 4171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,] +oo )  e.  ( A  u.  B )  /\  ( -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B
) )  ->  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
)
9885, 96, 97mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
99 ssfii 7881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
10031, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
10198, 100sstri 3498 . . . . . . . . 9  |-  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
102 eltg3i 19440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  e.  _V  /\  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  ->  U. { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  e.  (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10374, 101, 102mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
10473, 103eqeltrri 2528 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
105 snssi 4159 . . . . . . 7  |-  ( RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  ->  { RR* }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { RR* } 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
107 bastg 19445 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  _V  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10874, 107ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
109100, 108sstri 3498 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
110106, 109unssi 3664 . . . . 5  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
111 fiss 7886 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
_V  /\  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) ) ) )
11236, 110, 111mp2an 672 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
113 fibas 19457 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases
114 tgcl 19449 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  e.  Top )
115 fitop 19387 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )
116113, 114, 115mp2b 10 . . . 4  |-  ( fi
`  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
117112, 116sseqtri 3521 . . 3  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
118 2basgen 19470 . . 3  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  /\  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) ) )
11935, 117, 118mp2an 672 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) )
1208, 119eqtr4i 2475 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    u. cun 3459    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   {csn 4014   {cpr 4016   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ficfi 7872   0cc0 9495   1c1 9496   +oocpnf 9628   -oocmnf 9629   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   (,]cioc 11541   [,)cico 11542   [,]cicc 11543   topGenctg 14817  ordTopcordt 14878    TosetRel ctsr 15808   Topctop 19372   TopBasesctb 19376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-topgen 14823  df-ordt 14880  df-ps 15809  df-tsr 15810  df-top 19377  df-bases 19379
This theorem is referenced by:  leordtval  19692  lecldbas  19698
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