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Theorem leordtval2 17230
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtval2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 14627 . . 3  |-  <_  e.  TosetRel
2 ledm 14624 . . . 4  |-  RR*  =  dom  <_
3 leordtval.1 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
43leordtvallem1 17228 . . . 4  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
5 leordtval.2 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
63, 5leordtvallem2 17229 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
72, 4, 6ordtval 17207 . . 3  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
81, 7ax-mp 8 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
9 snex 4365 . . . . 5  |-  { RR* }  e.  _V
10 xrex 10565 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
1110pwex 4342 . . . . . 6  |-  ~P RR*  e.  _V
12 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )
13 iocssxr 10950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,]  +oo )  C_  RR*
1410elpw2 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,]  +oo )  e.  ~P RR*  <->  ( x (,] 
+oo )  C_  RR* )
1513, 14mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,]  +oo )  e.  ~P RR*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x (,]  +oo )  e.  ~P RR* )
1712, 16fmpti 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) ) :
RR* --> ~P RR*
18 frn 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  C_  ~P RR* )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  C_  ~P RR*
203, 19eqsstri 3338 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~P RR*
21 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
22 icossxr 10951 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  -oo [,) x )  C_  RR*
2310elpw2 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo [,) x )  e. 
~P RR*  <->  (  -oo [,) x )  C_  RR* )
2422, 23mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,) x )  e.  ~P RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  (  -oo [,) x )  e.  ~P RR* )
2621, 25fmpti 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*
27 frn 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  C_  ~P RR* )
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  C_  ~P RR*
295, 28eqsstri 3338 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~P RR*
3020, 29unssi 3482 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ~P RR*
3111, 30ssexi 4308 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
329, 31unex 4666 . . . 4  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V
33 ssun2 3471 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )
34 fiss 7387 . . . 4  |-  ( ( ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
3532, 33, 34mp2an 654 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )
36 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  e.  _V
37 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  _V
38 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  _V
3937, 38unipr 3989 . . . . . . . . 9  |-  U. {
( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  =  ( ( 0 (,] 
+oo )  u.  (  -oo [,) 1 ) )
40 iocssxr 10950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,]  +oo )  C_  RR*
41 icossxr 10951 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,) 1 )  C_  RR*
4240, 41unssi 3482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1
) )  C_  RR*
43 mnfxr 10670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -oo  e.  RR*
44 0xr 9087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
45 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +oo  e.  RR*
46 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
47 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  <  0
49 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
5044, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  +oo
51 df-icc 10879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
52 df-ioc 10877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
53 xrltnle 9100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
54 xrletr 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <_  0  /\  0  <_  +oo )  ->  w  <_  +oo ) )
55 xrlttr 10689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <  w )  ->  -oo  <  w ) )
56 xrltle 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (  -oo  <  w  ->  -oo  <_  w ) )
57563adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (  -oo  <  w  ->  -oo  <_  w ) )
5855, 57syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <  w )  ->  -oo  <_  w ) )
5951, 52, 53, 51, 54, 58ixxun 10888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  0  /\  0  <_  +oo ) )  -> 
( (  -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,]  +oo ) )  =  (  -oo [,]  +oo ) )
6048, 50, 59mpanr12 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (  -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( 
-oo [,]  +oo ) )
6143, 44, 45, 60mp3an 1279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( 
-oo [,]  +oo )
62 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
6362rexri 9093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
64 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
65 df-ico 10878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
66 xrlelttr 10702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  1  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  0  /\  0  <  1
)  ->  w  <  1 ) )
6765, 51, 66ixxss2 10891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  (  -oo [,] 0 )  C_  (  -oo [,) 1 ) )
6863, 64, 67mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo [,] 0 )  C_  (  -oo [,) 1 )
69 unss1 3476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo [,] 0 )  C_  (  -oo [,) 1 )  ->  ( (  -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,]  +oo ) ) 
C_  ( (  -oo [,) 1 )  u.  (
0 (,]  +oo ) ) )
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
(  -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] 
+oo ) )
7161, 70eqsstr3i 3339 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,] 
+oo )  C_  (
(  -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] 
+oo ) )
72 iccmax 10942 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,] 
+oo )  =  RR*
73 uncom 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( ( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1 ) )
7471, 72, 733sstr3i 3346 . . . . . . . . . 10  |-  RR*  C_  (
( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1 ) )
7542, 74eqssi 3324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,]  +oo )  u.  (  -oo [,) 1
) )  =  RR*
7639, 75eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  =  RR*
77 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
78 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
79 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo )
80 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
x (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo ) )
8180eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0 (,]  +oo )  =  ( x (,]  +oo )  <->  ( 0 (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo )
) )
8281rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
0 (,]  +oo )  =  ( 0 (,]  +oo ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] 
+oo )  =  ( x (,]  +oo )
)
8344, 79, 82mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] 
+oo )  =  ( x (,]  +oo )
84 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x (,]  +oo )  e.  _V
8512, 84elrnmpti 5080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 (,]  +oo )  e.  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] 
+oo )  =  ( x (,]  +oo )
)
8683, 85mpbir 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )
8786, 3eleqtrri 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  A
8878, 87sselii 3305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  ( A  u.  B )
89 ssun2 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
90 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) 1 )
91 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  (  -oo [,) x )  =  (  -oo [,) 1
) )
9291eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
(  -oo [,) 1 )  =  (  -oo [,) x )  <->  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) 1 ) ) )
9392rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  (  -oo [,) 1 )  =  (  -oo [,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR*  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) x ) )
9463, 90, 93mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) x )
95 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -oo [,) x )  e.  _V
9621, 95elrnmpti 5080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo [,) 1 )  e. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  (  -oo [,) 1 )  =  ( 
-oo [,) x ) )
9794, 96mpbir 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
9897, 5eleqtrri 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  B
9989, 98sselii 3305 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B )
100 prssi 3914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,]  +oo )  e.  ( A  u.  B )  /\  (  -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B
) )  ->  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
)
10188, 99, 100mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
102 ssfii 7382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
10331, 102ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
104101, 103sstri 3317 . . . . . . . . 9  |-  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
105 eltg3i 16981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  e.  _V  /\  { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  ->  U. { ( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1
) }  e.  (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10677, 104, 105mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,]  +oo ) ,  (  -oo [,) 1 ) }  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
10776, 106eqeltrri 2475 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
108 snssi 3902 . . . . . . 7  |-  ( RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  ->  { RR* }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
109107, 108ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { RR* } 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
110 bastg 16986 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  _V  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
11177, 110ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
112103, 111sstri 3317 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
113109, 112unssi 3482 . . . . 5  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
114 fiss 7387 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
_V  /\  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) ) ) )
11536, 113, 114mp2an 654 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
116 fibas 16997 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases
117 tgcl 16989 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  e.  Top )
118 fitop 16928 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )
119116, 117, 118mp2b 10 . . . 4  |-  ( fi
`  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
120115, 119sseqtri 3340 . . 3  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
121 2basgen 17010 . . 3  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  /\  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) ) )
12235, 120, 121mp2an 654 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) )
1238, 122eqtr4i 2427 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ficfi 7373   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   (,]cioc 10873   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   topGenctg 13620  ordTopcordt 13676    TosetRel ctsr 14580   Topctop 16913   TopBasesctb 16917
This theorem is referenced by:  leordtval  17231  lecldbas  17237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-topgen 13622  df-ordt 13680  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-top 16918  df-bases 16920
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