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Theorem leordtval2 20276
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtval2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 16521 . . 3  |-  <_  e.  TosetRel
2 ledm 16518 . . . 4  |-  RR*  =  dom  <_
3 leordtval.1 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
43leordtvallem1 20274 . . . 4  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
5 leordtval.2 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
63, 5leordtvallem2 20275 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
72, 4, 6ordtval 20253 . . 3  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
81, 7ax-mp 5 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
9 snex 4654 . . . . 5  |-  { RR* }  e.  _V
10 xrex 11327 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
1110pwex 4599 . . . . . 6  |-  ~P RR*  e.  _V
12 eqid 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
13 iocssxr 11746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,] +oo )  C_  RR*
1410elpw2 4580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,] +oo )  e.  ~P RR*  <->  ( x (,] +oo )  C_  RR* )
1513, 14mpbir 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,] +oo )  e. 
~P RR*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x (,] +oo )  e. 
~P RR* )
1712, 16fmpti 6067 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) : RR* --> ~P RR*
18 frn 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) : RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  C_  ~P RR* )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) 
C_  ~P RR*
203, 19eqsstri 3473 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~P RR*
21 eqid 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
22 icossxr 11747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo [,) x )  C_  RR*
2310elpw2 4580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,) x )  e.  ~P RR*  <->  ( -oo [,) x )  C_  RR* )
2422, 23mpbir 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) x )  e.  ~P RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo [,) x )  e.  ~P RR* )
2621, 25fmpti 6067 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*
27 frn 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  C_  ~P RR* )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  C_  ~P RR*
295, 28eqsstri 3473 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~P RR*
3020, 29unssi 3620 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ~P RR*
3111, 30ssexi 4561 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
329, 31unex 6615 . . . 4  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V
33 ssun2 3609 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )
34 fiss 7963 . . . 4  |-  ( ( ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
3532, 33, 34mp2an 683 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )
36 fvex 5897 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  e.  _V
37 ovex 6342 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,] +oo )  e. 
_V
38 ovex 6342 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  _V
3937, 38unipr 4224 . . . . . . . . 9  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  =  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
40 iocssxr 11746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,] +oo )  C_  RR*
41 icossxr 11747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) 1 )  C_  RR*
4240, 41unssi 3620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1
) )  C_  RR*
43 mnfxr 11442 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
44 0xr 9712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
45 pnfxr 11440 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
46 mnflt0 11455 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
47 0lepnf 11461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_ +oo
48 df-icc 11670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
49 df-ioc 11668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
50 xrltnle 9726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
51 xrletr 11483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <_  0  /\  0  <_ +oo )  ->  w  <_ +oo ) )
52 xrlttr 11467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <  w )  -> -oo  <  w ) )
53 xrltle 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  w  -> -oo  <_  w ) )
54533adant2 1033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  ( -oo  <  w  -> -oo  <_  w ) )
5552, 54syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <  w )  -> -oo  <_  w ) )
5648, 49, 50, 48, 51, 55ixxun 11679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  0  /\  0  <_ +oo ) )  -> 
( ( -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,] +oo )
)  =  ( -oo [,] +oo ) )
5746, 47, 56mpanr12 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( -oo [,] +oo )
)
5843, 44, 45, 57mp3an 1373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( -oo [,] +oo )
59 1re 9667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
6059rexri 9718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
61 0lt1 10163 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
62 df-ico 11669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
63 xrlelttr 11481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  1  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  0  /\  0  <  1
)  ->  w  <  1 ) )
6462, 48, 63ixxss2 11682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( -oo [,] 0 )  C_  ( -oo [,) 1 ) )
6560, 61, 64mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo [,] 0 )  C_  ( -oo [,) 1 )
66 unss1 3614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo [,] 0 ) 
C_  ( -oo [,) 1 )  ->  (
( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )
6858, 67eqsstr3i 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,] +oo )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )
69 iccmax 11738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*
70 uncom 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
7168, 69, 703sstr3i 3481 . . . . . . . . . 10  |-  RR*  C_  (
( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
7242, 71eqssi 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1
) )  =  RR*
7339, 72eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  =  RR*
74 fvex 5897 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
75 ssun1 3608 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
76 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo )
77 oveq1 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
x (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) )
7877eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0 (,] +oo )  =  ( x (,] +oo )  <->  ( 0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) ) )
7978rspcev 3161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
)
8044, 76, 79mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
81 ovex 6342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x (,] +oo )  e. 
_V
8212, 81elrnmpti 5103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 (,] +oo )  e.  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
)
8380, 82mpbir 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,] +oo )  e. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
8483, 3eleqtrri 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  A
8575, 84sselii 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  ( A  u.  B
)
86 ssun2 3609 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
87 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1 )
88 oveq2 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  ( -oo [,) x )  =  ( -oo [,) 1
) )
8988eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1 ) ) )
9089rspcev 3161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x ) )
9160, 87, 90mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x )
92 ovex 6342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo [,) x )  e.  _V
9321, 92elrnmpti 5103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x ) )
9491, 93mpbir 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
9594, 5eleqtrri 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  B
9686, 95sselii 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B )
97 prssi 4140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,] +oo )  e.  ( A  u.  B )  /\  ( -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B
) )  ->  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
)
9885, 96, 97mp2an 683 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
99 ssfii 7958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
10031, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
10198, 100sstri 3452 . . . . . . . . 9  |-  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
102 eltg3i 20024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  e.  _V  /\  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  ->  U. { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  e.  (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10374, 101, 102mp2an 683 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
10473, 103eqeltrri 2536 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
105 snssi 4128 . . . . . . 7  |-  ( RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  ->  { RR* }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { RR* } 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
107 bastg 20029 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  _V  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10874, 107ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
109100, 108sstri 3452 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
110106, 109unssi 3620 . . . . 5  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
111 fiss 7963 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
_V  /\  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) ) ) )
11236, 110, 111mp2an 683 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
113 fibas 20041 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases
114 tgcl 20033 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  e.  Top )
115 fitop 19978 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )
116113, 114, 115mp2b 10 . . . 4  |-  ( fi
`  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
117112, 116sseqtri 3475 . . 3  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
118 2basgen 20054 . . 3  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  /\  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) ) )
11935, 117, 118mp2an 683 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) )
1208, 119eqtr4i 2486 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   E.wrex 2749   _Vcvv 3056    u. cun 3413    C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   {csn 3979   {cpr 3981   U.cuni 4211   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   ran crn 4853   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   ficfi 7949   0cc0 9564   1c1 9565   +oocpnf 9697   -oocmnf 9698   RR*cxr 9699    < clt 9700    <_ cle 9701   (,]cioc 11664   [,)cico 11665   [,]cicc 11666   topGenctg 15384  ordTopcordt 15445    TosetRel ctsr 16493   Topctop 19965   TopBasesctb 19968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fi 7950  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-topgen 15390  df-ordt 15447  df-ps 16494  df-tsr 16495  df-top 19969  df-bases 19970
This theorem is referenced by:  leordtval  20277  lecldbas  20283
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