MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval2 Structured version   Unicode version

Theorem leordtval2 18658
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
Assertion
Ref Expression
leordtval2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 15380 . . 3  |-  <_  e.  TosetRel
2 ledm 15377 . . . 4  |-  RR*  =  dom  <_
3 leordtval.1 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
43leordtvallem1 18656 . . . 4  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
5 leordtval.2 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
63, 5leordtvallem2 18657 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
72, 4, 6ordtval 18635 . . 3  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
81, 7ax-mp 5 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
9 snex 4521 . . . . 5  |-  { RR* }  e.  _V
10 xrex 10976 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
1110pwex 4463 . . . . . 6  |-  ~P RR*  e.  _V
12 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  =  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
13 iocssxr 11367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,] +oo )  C_  RR*
1410elpw2 4444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,] +oo )  e.  ~P RR*  <->  ( x (,] +oo )  C_  RR* )
1513, 14mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,] +oo )  e. 
~P RR*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x (,] +oo )  e. 
~P RR* )
1712, 16fmpti 5854 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) : RR* --> ~P RR*
18 frn 5553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) : RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  C_  ~P RR* )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,] +oo ) ) 
C_  ~P RR*
203, 19eqsstri 3374 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~P RR*
21 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
22 icossxr 11368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo [,) x )  C_  RR*
2310elpw2 4444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,) x )  e.  ~P RR*  <->  ( -oo [,) x )  C_  RR* )
2422, 23mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) x )  e.  ~P RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo [,) x )  e.  ~P RR* )
2621, 25fmpti 5854 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*
27 frn 5553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) ) :
RR* --> ~P RR*  ->  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  C_  ~P RR* )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  C_  ~P RR*
295, 28eqsstri 3374 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~P RR*
3020, 29unssi 3519 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ~P RR*
3111, 30ssexi 4425 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
329, 31unex 6367 . . . 4  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V
33 ssun2 3508 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )
34 fiss 7662 . . . 4  |-  ( ( ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
3532, 33, 34mp2an 665 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )
36 fvex 5689 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  e.  _V
37 ovex 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,] +oo )  e. 
_V
38 ovex 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  _V
3937, 38unipr 4092 . . . . . . . . 9  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  =  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
40 iocssxr 11367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,] +oo )  C_  RR*
41 icossxr 11368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) 1 )  C_  RR*
4240, 41unssi 3519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1
) )  C_  RR*
43 mnfxr 11082 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
44 0xr 9418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
45 pnfxr 11080 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
46 mnflt0 11093 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
47 0lepnf 11099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_ +oo
48 df-icc 11295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
49 df-ioc 11293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
50 xrltnle 9431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
0  <  w  <->  -.  w  <_  0 ) )
51 xrletr 11120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <_  0  /\  0  <_ +oo )  ->  w  <_ +oo ) )
52 xrlttr 11105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <  w )  -> -oo  <  w ) )
53 xrltle 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  w  -> -oo  <_  w ) )
54533adant2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  ( -oo  <  w  -> -oo  <_  w ) )
5552, 54syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <  w )  -> -oo  <_  w ) )
5648, 49, 50, 48, 51, 55ixxun 11304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  0  /\  0  <_ +oo ) )  -> 
( ( -oo [,] 0 )  u.  (
0 (,] +oo )
)  =  ( -oo [,] +oo ) )
5746, 47, 56mpanr12 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( -oo [,] +oo )
)
5843, 44, 45, 57mp3an 1307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( -oo [,] +oo )
59 1re 9373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
6059rexri 9424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
61 0lt1 9850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
62 df-ico 11294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
63 xrlelttr 11118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  1  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  0  /\  0  <  1
)  ->  w  <  1 ) )
6462, 48, 63ixxss2 11307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( -oo [,] 0 )  C_  ( -oo [,) 1 ) )
6560, 61, 64mp2an 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo [,] 0 )  C_  ( -oo [,) 1 )
66 unss1 3513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo [,] 0 ) 
C_  ( -oo [,) 1 )  ->  (
( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo [,] 0 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )
6858, 67eqsstr3i 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,] +oo )  C_  (
( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )
69 iccmax 11359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*
70 uncom 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo [,) 1 )  u.  ( 0 (,] +oo ) )  =  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
7168, 69, 703sstr3i 3382 . . . . . . . . . 10  |-  RR*  C_  (
( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1 ) )
7242, 71eqssi 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,] +oo )  u.  ( -oo [,) 1
) )  =  RR*
7339, 72eqtri 2453 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  =  RR*
74 fvex 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
75 ssun1 3507 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
76 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo )
77 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
x (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) )
7877eqeq2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0 (,] +oo )  =  ( x (,] +oo )  <->  ( 0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) ) )
7978rspcev 3062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
0 (,] +oo )  =  ( 0 (,] +oo ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
)
8044, 76, 79mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
81 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x (,] +oo )  e. 
_V
8212, 81elrnmpti 5077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 (,] +oo )  e.  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( 0 (,] +oo )  =  (
x (,] +oo )
)
8380, 82mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,] +oo )  e. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
8483, 3eleqtrri 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  A
8575, 84sselii 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,] +oo )  e.  ( A  u.  B
)
86 ssun2 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
87 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1 )
88 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  ( -oo [,) x )  =  ( -oo [,) 1
) )
8988eqeq2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x )  <->  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1 ) ) )
9089rspcev 3062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x ) )
9160, 87, 90mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x )
92 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo [,) x )  e.  _V
9321, 92elrnmpti 5077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( -oo [,) 1 )  =  ( -oo [,) x ) )
9491, 93mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
9594, 5eleqtrri 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  B
9686, 95sselii 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B )
97 prssi 4017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,] +oo )  e.  ( A  u.  B )  /\  ( -oo [,) 1 )  e.  ( A  u.  B
) )  ->  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
)
9885, 96, 97mp2an 665 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( A  u.  B )
99 ssfii 7657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
10031, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
10198, 100sstri 3353 . . . . . . . . 9  |-  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) )
102 eltg3i 18408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  e.  _V  /\  { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  ->  U. { ( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1
) }  e.  (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10374, 101, 102mp2an 665 . . . . . . . 8  |-  U. {
( 0 (,] +oo ) ,  ( -oo [,) 1 ) }  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
10473, 103eqeltrri 2504 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
105 snssi 4005 . . . . . . 7  |-  ( RR*  e.  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  ->  { RR* }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { RR* } 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
107 bastg 18413 . . . . . . . 8  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  _V  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
10874, 107ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
109100, 108sstri 3353 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
110106, 109unssi 3519 . . . . 5  |-  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
)  C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
111 fiss 7662 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
_V  /\  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) ) ) )
11236, 110, 111mp2an 665 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )
113 fibas 18424 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases
114 tgcl 18416 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( A  u.  B ) )  e.  TopBases  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  e.  Top )
115 fitop 18355 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )
116113, 114, 115mp2b 10 . . . 4  |-  ( fi
`  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
117112, 116sseqtri 3376 . . 3  |-  ( fi
`  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
118 2basgen 18437 . . 3  |-  ( ( ( fi `  ( A  u.  B )
)  C_  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) )  /\  ( fi `  ( {
RR* }  u.  ( A  u.  B )
) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( A  u.  B
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B ) ) ) ) )
11935, 117, 118mp2an 665 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { RR* }  u.  ( A  u.  B
) ) ) )
1208, 119eqtr4i 2456 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    u. cun 3314    C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   {csn 3865   {cpr 3867   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ran crn 4828   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   ficfi 7648   0cc0 9270   1c1 9271   +oocpnf 9403   -oocmnf 9404   RR*cxr 9405    < clt 9406    <_ cle 9407   (,]cioc 11289   [,)cico 11290   [,]cicc 11291   topGenctg 14359  ordTopcordt 14420    TosetRel ctsr 15352   Topctop 18340   TopBasesctb 18344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-topgen 14365  df-ordt 14422  df-ps 15353  df-tsr 15354  df-top 18345  df-bases 18347
This theorem is referenced by:  leordtval  18659  lecldbas  18665
  Copyright terms: Public domain W3C validator