Theorem leordtval 18950

Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
leordtval.1	|- A = ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) )
leordtval.2	|- B = ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) )
leordtval.3	|- C = ran (,)

Assertion

Ref	Expression
leordtval	|- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )

Proof of Theorem leordtval

Dummy variables a b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leordtval.1	. . 3 |- A = ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) )
2		leordtval.2	. . 3 |- B = ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) )
3	1, 2	leordtval2 18949	. 2 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( A u. B ) ) )
4		letsr 15517	. . . 4 |- <_ e. TosetRel
5		ledm 15514	. . . . 5 |- RR* = dom <_
6	1	leordtvallem1 18947	. . . . 5 |- A = ran ( x e. RR* |-> { y e. RR* | -. y <_ x } )
7	1, 2	leordtvallem2 18948	. . . . 5 |- B = ran ( x e. RR* |-> { y e. RR* | -. x <_ y } )
8		leordtval.3	. . . . . 6 |- C = ran (,)
9		df-ioo 11416	. . . . . . . 8 |- (,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } )
10		xrltnle 9555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( a < y <-> -. y <_ a ) )
11	10	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( a < y <-> -. y <_ a ) )
12		xrltnle 9555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
13	12	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
14	13	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
15	11, 14	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( ( a < y /\ y < b ) <-> ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) ) )
16	15	rabbidva 3069	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } = { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
17	16	mpt2eq3ia 6261	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } ) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
18	9, 17	eqtri 2483	. . . . . . 7 |- (,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
19	18	rneqi 5175	. . . . . 6 |- ran (,) = ran ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
20	8, 19	eqtri 2483	. . . . 5 |- C = ran ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
21	5, 6, 7, 20	ordtbas2 18928	. . . 4 |- ( <_ e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C ) )
22	4, 21	ax-mp 5	. . 3 |- ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C )
23	22	fveq2i 5803	. 2 |- ( topGen ` ( fi ` ( A u. B ) ) ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )
24	3, 23	eqtri 2483	1 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   {crab 2803   u. cun 3435   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4459   ran crn 4950   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   |-> cmpt2 6203   ficfi 7772   +oocpnf 9527   -oocmnf 9528   RR*cxr 9529   < clt 9530   <_ cle 9531   (,)cioo 11412   (,]cioc 11413   [,)cico 11414   topGenctg 14496  ordTopcordt 14557   TosetRel ctsr 15489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fi 7773  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-topgen 14502  df-ordt 14559  df-ps 15490  df-tsr 15491  df-top 18636  df-bases 18638

This theorem is referenced by:  iocpnfordt  18952  icomnfordt  18953  iooordt  18954  pnfnei  18957  mnfnei  18958  xrtgioo  20516