Theorem leordtval 19520

Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
leordtval.1	|- A = ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) )
leordtval.2	|- B = ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) )
leordtval.3	|- C = ran (,)

Assertion

Ref	Expression
leordtval	|- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )

Proof of Theorem leordtval

Dummy variables a b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leordtval.1	. . 3 |- A = ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) )
2		leordtval.2	. . 3 |- B = ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) )
3	1, 2	leordtval2 19519	. 2 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( A u. B ) ) )
4		letsr 15717	. . . 4 |- <_ e. TosetRel
5		ledm 15714	. . . . 5 |- RR* = dom <_
6	1	leordtvallem1 19517	. . . . 5 |- A = ran ( x e. RR* |-> { y e. RR* | -. y <_ x } )
7	1, 2	leordtvallem2 19518	. . . . 5 |- B = ran ( x e. RR* |-> { y e. RR* | -. x <_ y } )
8		leordtval.3	. . . . . 6 |- C = ran (,)
9		df-ioo 11534	. . . . . . . 8 |- (,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } )
10		xrltnle 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( a < y <-> -. y <_ a ) )
11	10	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( a < y <-> -. y <_ a ) )
12		xrltnle 9654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
13	12	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
14	13	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
15	11, 14	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( ( a < y /\ y < b ) <-> ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) ) )
16	15	rabbidva 3104	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } = { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
17	16	mpt2eq3ia 6347	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } ) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
18	9, 17	eqtri 2496	. . . . . . 7 |- (,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
19	18	rneqi 5229	. . . . . 6 |- ran (,) = ran ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
20	8, 19	eqtri 2496	. . . . 5 |- C = ran ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
21	5, 6, 7, 20	ordtbas2 19498	. . . 4 |- ( <_ e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C ) )
22	4, 21	ax-mp 5	. . 3 |- ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C )
23	22	fveq2i 5869	. 2 |- ( topGen ` ( fi ` ( A u. B ) ) ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )
24	3, 23	eqtri 2496	1 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2818   u. cun 3474   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   |-> cmpt2 6287   ficfi 7871   +oocpnf 9626   -oocmnf 9627   RR*cxr 9628   < clt 9629   <_ cle 9630   (,)cioo 11530   (,]cioc 11531   [,)cico 11532   topGenctg 14696  ordTopcordt 14757   TosetRel ctsr 15689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7872  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-ioo 11534  df-ioc 11535  df-ico 11536  df-icc 11537  df-topgen 14702  df-ordt 14759  df-ps 15690  df-tsr 15691  df-top 19206  df-bases 19208

This theorem is referenced by:  iocpnfordt  19522  icomnfordt  19523  iooordt  19524  pnfnei  19527  mnfnei  19528  xrtgioo  21138