Theorem leordtval 20160

Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
leordtval.1	|- A = ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) )
leordtval.2	|- B = ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) )
leordtval.3	|- C = ran (,)

Assertion

Ref	Expression
leordtval	|- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )

Proof of Theorem leordtval

Dummy variables a b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leordtval.1	. . 3 |- A = ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) )
2		leordtval.2	. . 3 |- B = ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) )
3	1, 2	leordtval2 20159	. 2 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( A u. B ) ) )
4		letsr 16424	. . . 4 |- <_ e. TosetRel
5		ledm 16421	. . . . 5 |- RR* = dom <_
6	1	leordtvallem1 20157	. . . . 5 |- A = ran ( x e. RR* |-> { y e. RR* | -. y <_ x } )
7	1, 2	leordtvallem2 20158	. . . . 5 |- B = ran ( x e. RR* |-> { y e. RR* | -. x <_ y } )
8		leordtval.3	. . . . . 6 |- C = ran (,)
9		df-ioo 11639	. . . . . . . 8 |- (,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } )
10		xrltnle 9700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( a < y <-> -. y <_ a ) )
11	10	adantlr 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( a < y <-> -. y <_ a ) )
12		xrltnle 9700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
13	12	ancoms 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
14	13	adantll 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
15	11, 14	anbi12d 715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( ( a < y /\ y < b ) <-> ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) ) )
16	15	rabbidva 3078	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } = { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
17	16	mpt2eq3ia 6370	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } ) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
18	9, 17	eqtri 2458	. . . . . . 7 |- (,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
19	18	rneqi 5081	. . . . . 6 |- ran (,) = ran ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
20	8, 19	eqtri 2458	. . . . 5 |- C = ran ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
21	5, 6, 7, 20	ordtbas2 20138	. . . 4 |- ( <_ e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C ) )
22	4, 21	ax-mp 5	. . 3 |- ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C )
23	22	fveq2i 5884	. 2 |- ( topGen ` ( fi ` ( A u. B ) ) ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )
24	3, 23	eqtri 2458	1 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   {crab 2786   u. cun 3440   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   |-> cmpt2 6307   ficfi 7930   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673   < clt 9674   <_ cle 9675   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   [,)cico 11637   topGenctg 15295  ordTopcordt 15356   TosetRel ctsr 16396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-topgen 15301  df-ordt 15358  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-top 19852  df-bases 19853

This theorem is referenced by:  iocpnfordt  20162  icomnfordt  20163  iooordt  20164  pnfnei  20167  mnfnei  20168  xrtgioo  21735