MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval Structured version   Unicode version

Theorem leordtval 18950
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
leordtval.2  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
leordtval.3  |-  C  =  ran  (,)
Assertion
Ref Expression
leordtval  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( A  u.  B )  u.  C
) )

Proof of Theorem leordtval
Dummy variables  a 
b  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leordtval.1 . . 3  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] +oo ) )
2 leordtval.2 . . 3  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) x ) )
31, 2leordtval2 18949 . 2  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
4 letsr 15517 . . . 4  |-  <_  e.  TosetRel
5 ledm 15514 . . . . 5  |-  RR*  =  dom  <_
61leordtvallem1 18947 . . . . 5  |-  A  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  y  <_  x } )
71, 2leordtvallem2 18948 . . . . 5  |-  B  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  -.  x  <_  y } )
8 leordtval.3 . . . . . 6  |-  C  =  ran  (,)
9 df-ioo 11416 . . . . . . . 8  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  (
a  <  y  /\  y  <  b ) } )
10 xrltnle 9555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
a  <  y  <->  -.  y  <_  a ) )
1110adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( a  <  y  <->  -.  y  <_  a )
)
12 xrltnle 9555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
y  <  b  <->  -.  b  <_  y ) )
1312ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  b  <->  -.  b  <_  y ) )
1413adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( y  <  b  <->  -.  b  <_  y )
)
1511, 14anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( a  < 
y  /\  y  <  b )  <->  ( -.  y  <_  a  /\  -.  b  <_  y ) ) )
1615rabbidva 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  { y  e.  RR*  |  (
a  <  y  /\  y  <  b ) }  =  { y  e. 
RR*  |  ( -.  y  <_  a  /\  -.  b  <_  y ) } )
1716mpt2eq3ia 6261 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  RR* ,  b  e. 
RR*  |->  { y  e. 
RR*  |  ( a  <  y  /\  y  < 
b ) } )  =  ( a  e. 
RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_ 
a  /\  -.  b  <_  y ) } )
189, 17eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_  a  /\  -.  b  <_  y ) } )
1918rneqi 5175 . . . . . 6  |-  ran  (,)  =  ran  ( a  e. 
RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_ 
a  /\  -.  b  <_  y ) } )
208, 19eqtri 2483 . . . . 5  |-  C  =  ran  ( a  e. 
RR* ,  b  e.  RR*  |->  { y  e.  RR*  |  ( -.  y  <_ 
a  /\  -.  b  <_  y ) } )
215, 6, 7, 20ordtbas2 18928 . . . 4  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
224, 21ax-mp 5 . . 3  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  =  ( ( A  u.  B )  u.  C
)
2322fveq2i 5803 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  =  (
topGen `  ( ( A  u.  B )  u.  C ) )
243, 23eqtri 2483 1  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( A  u.  B )  u.  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803    u. cun 3435   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   ran crn 4950   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   ficfi 7772   +oocpnf 9527   -oocmnf 9528   RR*cxr 9529    < clt 9530    <_ cle 9531   (,)cioo 11412   (,]cioc 11413   [,)cico 11414   topGenctg 14496  ordTopcordt 14557    TosetRel ctsr 15489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fi 7773  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-topgen 14502  df-ordt 14559  df-ps 15490  df-tsr 15491  df-top 18636  df-bases 18638
This theorem is referenced by:  iocpnfordt  18952  icomnfordt  18953  iooordt  18954  pnfnei  18957  mnfnei  18958  xrtgioo  20516
  Copyright terms: Public domain W3C validator