Theorem leopnmid 11709

Description: A bounded Hermitian operator is less than or equal to its norm times the identity operator.

Assertion

Ref	Expression
leopnmid	|- ((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) -> T <_op ((normop` T) .op Iop ))

Proof of Theorem leopnmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopre 11484	. . . . 5 |- ((T e. HrmOp /\ x e. ~H) -> ((T` x) .ih x) e. RR)
2	1	adantlr 429	. . . 4 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((T` x) .ih x) e. RR)
3	1	recnd 6468	. . . . . 6 |- ((T e. HrmOp /\ x e. ~H) -> ((T` x) .ih x) e. CC)
4		abscl 8084	. . . . . 6 |- (((T` x) .ih x) e. CC -> (abs` ((T` x) .ih x)) e. RR)
5	3, 4	syl 12	. . . . 5 |- ((T e. HrmOp /\ x e. ~H) -> (abs` ((T` x) .ih x)) e. RR)
6	5	adantlr 429	. . . 4 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (abs` ((T` x) .ih x)) e. RR)
7		hmopre 11484	. . . . . 6 |- ((((normop` T) .op Iop ) e. HrmOp /\ x e. ~H) -> ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x) e. RR)
8		idhmop 11543	. . . . . . 7 |- Iop e. HrmOp
9		hmopm 11583	. . . . . . 7 |- (((normop` T) e. RR /\ Iop e. HrmOp) -> ((normop` T) .op Iop ) e. HrmOp)
10	8, 9	mpan2 760	. . . . . 6 |- ((normop` T) e. RR -> ((normop` T) .op Iop ) e. HrmOp)
11	7, 10	sylan 497	. . . . 5 |- (((normop` T) e. RR /\ x e. ~H) -> ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x) e. RR)
12	11	adantll 428	. . . 4 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x) e. RR)
13		leabs 8115	. . . . . 6 |- (((T` x) .ih x) e. RR -> ((T` x) .ih x) <_ (abs` ((T` x) .ih x)))
14	1, 13	syl 12	. . . . 5 |- ((T e. HrmOp /\ x e. ~H) -> ((T` x) .ih x) <_ (abs` ((T` x) .ih x)))
15	14	adantlr 429	. . . 4 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((T` x) .ih x) <_ (abs` ((T` x) .ih x)))
16		ffvelrn 4787	. . . . . . . . 9 |- ((T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (T` x) e. ~H)
17		normcl 10624	. . . . . . . . 9 |- ((T` x) e. ~H -> (normh` (T` x)) e. RR)
18	16, 17	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (normh` (T` x)) e. RR)
19		hmopf 11438	. . . . . . . 8 |- (T e. HrmOp -> T:~H-->~H)
20	18, 19	sylan 497	. . . . . . 7 |- ((T e. HrmOp /\ x e. ~H) -> (normh` (T` x)) e. RR)
21	20	adantlr 429	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (normh` (T` x)) e. RR)
22		normcl 10624	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (normh` x) e. RR)
23	22	adantl 424	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (normh` x) e. RR)
24		remulcl 6457	. . . . . 6 |- (((normh` (T` x)) e. RR /\ (normh` x) e. RR) -> ((normh` (T` x)) x. (normh` x)) e. RR)
25	21, 23, 24	syl11anc 524	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((normh` (T` x)) x. (normh` x)) e. RR)
26	16, 19	sylan 497	. . . . . . 7 |- ((T e. HrmOp /\ x e. ~H) -> (T` x) e. ~H)
27		bcs 10681	. . . . . . 7 |- (((T` x) e. ~H /\ x e. ~H) -> (abs` ((T` x) .ih x)) <_ ((normh` (T` x)) x. (normh` x)))
28	26, 27	sylancom 531	. . . . . 6 |- ((T e. HrmOp /\ x e. ~H) -> (abs` ((T` x) .ih x)) <_ ((normh` (T` x)) x. (normh` x)))
29	28	adantlr 429	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (abs` ((T` x) .ih x)) <_ ((normh` (T` x)) x. (normh` x)))
30		remulcl 6457	. . . . . . . 8 |- (((normop` T) e. RR /\ (normh` x) e. RR) -> ((normop` T) x. (normh` x)) e. RR)
31		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) -> (normop` T) e. RR)
32	30, 31, 22	syl2an 503	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((normop` T) x. (normh` x)) e. RR)
33		normge0 10625	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> 0 <_ (normh` x))
34	33	adantl 424	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> 0 <_ (normh` x))
35		nmbdoplb 11587	. . . . . . . 8 |- ((T e. BndLinOp /\ x e. ~H) -> (normh` (T` x)) <_ ((normop` T) x. (normh` x)))
36		elbdop2 11435	. . . . . . . . . 10 |- (T e. BndLinOp <-> (T e. LinOp /\ (normop` T) e. RR))
37	36	biimpri 169	. . . . . . . . 9 |- ((T e. LinOp /\ (normop` T) e. RR) -> T e. BndLinOp)
38		hmoplin 11503	. . . . . . . . 9 |- (T e. HrmOp -> T e. LinOp)
39	37, 38	sylan 497	. . . . . . . 8 |- ((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) -> T e. BndLinOp)
40	35, 39	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (normh` (T` x)) <_ ((normop` T) x. (normh` x)))
41		lemul1aOLD 7020	. . . . . . 7 |- ((((normh` (T` x)) e. RR /\ ((normop` T) x. (normh` x)) e. RR /\ (normh` x) e. RR) /\ (0 <_ (normh` x) /\ (normh` (T` x)) <_ ((normop` T) x. (normh` x)))) -> ((normh` (T` x)) x. (normh` x)) <_ (((normop` T) x. (normh` x)) x. (normh` x)))
42	21, 32, 23, 34, 40, 41	syl32anc 1108	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((normh` (T` x)) x. (normh` x)) <_ (((normop` T) x. (normh` x)) x. (normh` x)))
43	22	recnd 6468	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ~H -> (normh` x) e. CC)
44		sqval 7854	. . . . . . . . . . . 12 |- ((normh` x) e. CC -> ((normh` x)^2) = ((normh` x) x. (normh` x)))
45	43, 44	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> ((normh` x)^2) = ((normh` x) x. (normh` x)))
46		normsq 10634	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> ((normh` x)^2) = (x .ih x))
47	45, 46	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> ((normh` x) x. (normh` x)) = (x .ih x))
48	47	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~H -> ((normop` T) x. ((normh` x) x. (normh` x))) = ((normop` T) x. (x .ih x)))
49	48	adantl 424	. . . . . . . 8 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((normop` T) x. ((normh` x) x. (normh` x))) = ((normop` T) x. (x .ih x)))
50		recn 6466	. . . . . . . . . 10 |- ((normop` T) e. RR -> (normop` T) e. CC)
51	50	ad2antlr 441	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (normop` T) e. CC)
52	23	recnd 6468	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (normh` x) e. CC)
53		mulass 6461	. . . . . . . . 9 |- (((normop` T) e. CC /\ (normh` x) e. CC /\ (normh` x) e. CC) -> (((normop` T) x. (normh` x)) x. (normh` x)) = ((normop` T) x. ((normh` x) x. (normh` x))))
54	51, 52, 52, 53	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (((normop` T) x. (normh` x)) x. (normh` x)) = ((normop` T) x. ((normh` x) x. (normh` x))))
55		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> x e. ~H)
56		ax-his3 10584	. . . . . . . . 9 |- (((normop` T) e. CC /\ x e. ~H /\ x e. ~H) -> (((normop` T) .h x) .ih x) = ((normop` T) x. (x .ih x)))
57	51, 55, 55, 56	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (((normop` T) .h x) .ih x) = ((normop` T) x. (x .ih x)))
58	49, 54, 57	3eqtr4d 1937	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (((normop` T) x. (normh` x)) x. (normh` x)) = (((normop` T) .h x) .ih x))
59		hoif 11317	. . . . . . . . . . . 12 |- Iop :~H-1-1-onto->~H
60		f1of 4635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Iop :~H-1-1-onto->~H -> Iop :~H-->~H)
61	59, 60	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- Iop :~H-->~H
62	61	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> Iop :~H-->~H)
63		homval 11151	. . . . . . . . . 10 |- (((normop` T) e. CC /\ Iop :~H-->~H /\ x e. ~H) -> (((normop` T) .op Iop )` x) = ((normop` T) .h ( Iop ` x)))
64	51, 62, 55, 63	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (((normop` T) .op Iop )` x) = ((normop` T) .h ( Iop ` x)))
65		hoival 11318	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> ( Iop ` x) = x)
66	65	opreq2d 4898	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> ((normop` T) .h ( Iop ` x)) = ((normop` T) .h x))
67	66	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((normop` T) .h ( Iop ` x)) = ((normop` T) .h x))
68	64, 67	eqtrd 1925	. . . . . . . 8 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (((normop` T) .op Iop )` x) = ((normop` T) .h x))
69	68	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x) = (((normop` T) .h x) .ih x))
70	58, 69	eqtr4d 1928	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (((normop` T) x. (normh` x)) x. (normh` x)) = ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x))
71	42, 70	breqtrd 3361	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((normh` (T` x)) x. (normh` x)) <_ ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x))
72	6, 25, 12, 29, 71	letrd 6696	. . . 4 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> (abs` ((T` x) .ih x)) <_ ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x))
73	2, 6, 12, 15, 72	letrd 6696	. . 3 |- (((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) /\ x e. ~H) -> ((T` x) .ih x) <_ ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x))
74	73	r19.21aiva 2176	. 2 |- ((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) -> A.x e. ~H ((T` x) .ih x) <_ ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x))
75		leop2 11695	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ ((normop` T) .op Iop ) e. HrmOp) -> (T <_op ((normop` T) .op Iop ) <-> A.x e. ~H ((T` x) .ih x) <_ ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x)))
76	75, 10	sylan2 500	. 2 |- ((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) -> (T <_op ((normop` T) .op Iop ) <-> A.x e. ~H ((T` x) .ih x) <_ ((((normop` T) .op Iop )` x) .ih x)))
77	74, 76	mpbird 213	1 |- ((T e. HrmOp /\ (normop` T) e. RR) -> T <_op ((normop` T) .op Iop ))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448  2c2 7145  ^cexp 7811  abscabs 8000  ~Hchil 10420   .h csm 10422   .ih csp 10425  normhcno 10426   .op chot 10440   Iop chio 10445  norm_opcnop 10446  LinOpclo 10448  BndLinOpcbo 10449  HrmOpcho 10451   <_op cleo 10459

This theorem is referenced by:  nmopleid 11710

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-hosum 11139  df-homul 11140  df-hodif 11141  df-h0op 11311  df-iop 11312  df-nmop 11402  df-lnop 11404  df-bdop 11405  df-hmop 11407  df-leop 11415

Copyright terms: Public domain