Theorem leopmul 11705

Description: The scalar product of a positive real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49.

Assertion

Ref	Expression
leopmul	|- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (0hop <_op T <-> 0hop <_op (A .op T)))

Proof of Theorem leopmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 872	. . . 4 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (A e. RR /\ T e. HrmOp))
2	1	adantr 425	. . 3 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op T) -> (A e. RR /\ T e. HrmOp))
3		0re 6603	. . . . . 6 |- 0 e. RR
4		ltle 6690	. . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A -> 0 <_ A))
5	4	3impia 1064	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ A e. RR /\ 0 < A) -> 0 <_ A)
6	3, 5	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 <_ A)
7	6	3adant2 895	. . . 4 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> 0 <_ A)
8	7	anim1i 361	. . 3 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op T) -> (0 <_ A /\ 0hop <_op T))
9		leopmuli 11704	. . 3 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp) /\ (0 <_ A /\ 0hop <_op T)) -> 0hop <_op (A .op T))
10	2, 8, 9	syl11anc 524	. 2 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op T) -> 0hop <_op (A .op T))
11		leopmuli 11704	. . . . 5 |- ((((1 / A) e. RR /\ (A .op T) e. HrmOp) /\ (0 <_ (1 / A) /\ 0hop <_op (A .op T))) -> 0hop <_op ((1 / A) .op (A .op T)))
12	11	anassrs 489	. . . 4 |- (((((1 / A) e. RR /\ (A .op T) e. HrmOp) /\ 0 <_ (1 / A)) /\ 0hop <_op (A .op T)) -> 0hop <_op ((1 / A) .op (A .op T)))
13		gt0ne0 6800	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)
14		rereccl 6981	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. RR)
15	13, 14	syldan 516	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / A) e. RR)
16	15	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (1 / A) e. RR)
17		hmopm 11583	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp) -> (A .op T) e. HrmOp)
18	17	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (A .op T) e. HrmOp)
19	16, 18	jca 310	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> ((1 / A) e. RR /\ (A .op T) e. HrmOp))
20		recgt0 7043	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (1 / A))
21	3	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 e. RR)
22		ltle 6690	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ (1 / A) e. RR) -> (0 < (1 / A) -> 0 <_ (1 / A)))
23	21, 15, 22	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (0 < (1 / A) -> 0 <_ (1 / A)))
24	20, 23	mpd 29	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 <_ (1 / A))
25	24	3adant2 895	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> 0 <_ (1 / A))
26	19, 25	jca 310	. . . 4 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (((1 / A) e. RR /\ (A .op T) e. HrmOp) /\ 0 <_ (1 / A)))
27	12, 26	sylan 497	. . 3 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op (A .op T)) -> 0hop <_op ((1 / A) .op (A .op T)))
28		recn 6466	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> A e. CC)
29	28	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A e. CC)
30		recid2 6919	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((1 / A) x. A) = 1)
31	29, 13, 30	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> ((1 / A) x. A) = 1)
32	31	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (((1 / A) x. A) .op T) = (1 .op T))
33	32	3adant2 895	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (((1 / A) x. A) .op T) = (1 .op T))
34		reccl 6904	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. CC)
35	29, 13, 34	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / A) e. CC)
36	35	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (1 / A) e. CC)
37	28	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> A e. CC)
38		hmopf 11438	. . . . . . 7 |- (T e. HrmOp -> T:~H-->~H)
39	38	3ad2ant2 898	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> T:~H-->~H)
40		homulass 11365	. . . . . 6 |- (((1 / A) e. CC /\ A e. CC /\ T:~H-->~H) -> (((1 / A) x. A) .op T) = ((1 / A) .op (A .op T)))
41	36, 37, 39, 40	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (((1 / A) x. A) .op T) = ((1 / A) .op (A .op T)))
42		homulid2 11363	. . . . . . 7 |- (T:~H-->~H -> (1 .op T) = T)
43	38, 42	syl 12	. . . . . 6 |- (T e. HrmOp -> (1 .op T) = T)
44	43	3ad2ant2 898	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (1 .op T) = T)
45	33, 41, 44	3eqtr3d 1934	. . . 4 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> ((1 / A) .op (A .op T)) = T)
46	45	adantr 425	. . 3 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op (A .op T)) -> ((1 / A) .op (A .op T)) = T)
47	27, 46	breqtrd 3361	. 2 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op (A .op T)) -> 0hop <_op T)
48	10, 47	impbida 577	1 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (0hop <_op T <-> 0hop <_op (A .op T)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  -->wf 3994  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653  ~Hchil 10420   .op chot 10440  0_hopch0o 10444  HrmOpcho 10451   <_op cleo 10459

This theorem is referenced by:  opsqrlem6 11716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-hosum 11139  df-homul 11140  df-hodif 11141  df-h0op 11311  df-hmop 11407  df-leop 11415

Copyright terms: Public domain