HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopmul Structured version   Unicode version

Theorem leopmul 25489
Description: The scalar product of a positive real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopmul  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  ( 0hop  <_op  T  <->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) ) )

Proof of Theorem leopmul
StepHypRef Expression
1 3simpa 985 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  /\  0hop  <_op 
T )  ->  ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp ) )
3 0re 9378 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
4 ltle 9455 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
543impia 1184 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  0  <_  A )
63, 5mp3an1 1301 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <_  A )
763adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  0  <_  A )
87anim1i 568 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  /\  0hop  <_op 
T )  ->  (
0  <_  A  /\  0hop  <_op  T ) )
9 leopmuli 25488 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )
)  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) )
102, 8, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  /\  0hop  <_op 
T )  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) )
11 gt0ne0 9796 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
12 rereccl 10041 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
1311, 12syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
14133adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
15 hmopm 25376 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( A  .op  T
)  e.  HrmOp )
16153adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  ( A  .op  T )  e. 
HrmOp )
17 recgt0 10165 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
18 ltle 9455 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  A
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  A
)  ->  0  <_  ( 1  /  A ) ) )
193, 13, 18sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 0  <  (
1  /  A )  ->  0  <_  (
1  /  A ) ) )
2017, 19mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <_  ( 1  /  A ) )
21203adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  0  <_  ( 1  /  A
) )
2214, 16, 21jca31 534 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  (
( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  ( A  .op  T
)  e.  HrmOp )  /\  0  <_  ( 1  /  A ) ) )
23 leopmuli 25488 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  ( A  .op  T
)  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  (
1  /  A )  /\  0hop  <_op  ( A 
.op  T ) ) )  ->  0hop  <_op  (
( 1  /  A
)  .op  ( A  .op  T ) ) )
2423anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  ( A 
.op  T )  e. 
HrmOp )  /\  0  <_  ( 1  /  A
) )  /\  0hop  <_op 
( A  .op  T
) )  ->  0hop  <_op  (
( 1  /  A
)  .op  ( A  .op  T ) ) )
2522, 24sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  /\  0hop  <_op 
( A  .op  T
) )  ->  0hop  <_op  (
( 1  /  A
)  .op  ( A  .op  T ) ) )
26 recn 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2726adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
2827, 11recid2d 10095 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  x.  A
)  =  1 )
2928oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( ( 1  /  A )  x.  A )  .op  T
)  =  ( 1 
.op  T ) )
30293adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  (
( ( 1  /  A )  x.  A
)  .op  T )  =  ( 1  .op 
T ) )
3127, 11reccld 10092 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
32313adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  (
1  /  A )  e.  CC )
33263ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
34 hmopf 25229 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
35343ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  T : ~H --> ~H )
36 homulass 25157 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  -> 
( ( ( 1  /  A )  x.  A )  .op  T
)  =  ( ( 1  /  A ) 
.op  ( A  .op  T ) ) )
3732, 33, 35, 36syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  (
( ( 1  /  A )  x.  A
)  .op  T )  =  ( ( 1  /  A )  .op  ( A  .op  T ) ) )
38 homulid2 25155 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( 1  .op  T )  =  T )
3934, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  ( 1 
.op  T )  =  T )
40393ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  (
1  .op  T )  =  T )
4130, 37, 403eqtr3d 2478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  (
( 1  /  A
)  .op  ( A  .op  T ) )  =  T )
4241adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  /\  0hop  <_op 
( A  .op  T
) )  ->  (
( 1  /  A
)  .op  ( A  .op  T ) )  =  T )
4325, 42breqtrd 4311 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  /\  0hop  <_op 
( A  .op  T
) )  ->  0hop  <_op  T
)
4410, 43impbida 828 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp  /\  0  <  A )  ->  ( 0hop  <_op  T  <->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   class class class wbr 4287   -->wf 5409  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    / cdiv 9985   ~Hchil 24272    .op chot 24292   0hopch0o 24296   HrmOpcho 24303    <_op cleo 24311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvmulass 24360  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363  ax-hfi 24432  ax-his1 24435  ax-his2 24436  ax-his3 24437  ax-his4 24438  ax-hcompl 24555
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-lm 18808  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cfil 20741  df-cau 20742  df-cmet 20743  df-grpo 23629  df-gid 23630  df-ginv 23631  df-gdiv 23632  df-ablo 23720  df-subgo 23740  df-vc 23875  df-nv 23921  df-va 23924  df-ba 23925  df-sm 23926  df-0v 23927  df-vs 23928  df-nmcv 23929  df-ims 23930  df-dip 24047  df-ssp 24071  df-ph 24164  df-cbn 24215  df-hnorm 24321  df-hba 24322  df-hvsub 24324  df-hlim 24325  df-hcau 24326  df-sh 24560  df-ch 24575  df-oc 24606  df-ch0 24607  df-shs 24662  df-pjh 24749  df-hosum 25085  df-homul 25086  df-hodif 25087  df-h0op 25103  df-hmop 25199  df-leop 25207
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  25500
  Copyright terms: Public domain W3C validator