Theorem leopg 11693

Description: Ordering relation for positive operators. Definition of positive operator ordering in [Kreyszig] p. 470.

Assertion

Ref	Expression
leopg	|- ((T e. A /\ U e. B) -> (T <_op U <-> ((U -op T) e. HrmOp /\ A.x e. ~H 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x))))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,T   x,U

Proof of Theorem leopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . 4 |- (t = T -> (u -op t) = (u -op T))
2	1	eleq1d 1963	. . 3 |- (t = T -> ((u -op t) e. HrmOp <-> (u -op T) e. HrmOp))
3	1	fveq1d 4683	. . . . . 6 |- (t = T -> ((u -op t)` x) = ((u -op T)` x))
4	3	opreq1d 4897	. . . . 5 |- (t = T -> (((u -op t)` x) .ih x) = (((u -op T)` x) .ih x))
5	4	breq2d 3350	. . . 4 |- (t = T -> (0 <_ (((u -op t)` x) .ih x) <-> 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x)))
6	5	ralbidv 2123	. . 3 |- (t = T -> (A.x e. ~H 0 <_ (((u -op t)` x) .ih x) <-> A.x e. ~H 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x)))
7	2, 6	anbi12d 690	. 2 |- (t = T -> (((u -op t) e. HrmOp /\ A.x e. ~H 0 <_ (((u -op t)` x) .ih x)) <-> ((u -op T) e. HrmOp /\ A.x e. ~H 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x))))
8		opreq1 4889	. . . 4 |- (u = U -> (u -op T) = (U -op T))
9	8	eleq1d 1963	. . 3 |- (u = U -> ((u -op T) e. HrmOp <-> (U -op T) e. HrmOp))
10	8	fveq1d 4683	. . . . . 6 |- (u = U -> ((u -op T)` x) = ((U -op T)` x))
11	10	opreq1d 4897	. . . . 5 |- (u = U -> (((u -op T)` x) .ih x) = (((U -op T)` x) .ih x))
12	11	breq2d 3350	. . . 4 |- (u = U -> (0 <_ (((u -op T)` x) .ih x) <-> 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x)))
13	12	ralbidv 2123	. . 3 |- (u = U -> (A.x e. ~H 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x) <-> A.x e. ~H 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x)))
14	9, 13	anbi12d 690	. 2 |- (u = U -> (((u -op T) e. HrmOp /\ A.x e. ~H 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x)) <-> ((U -op T) e. HrmOp /\ A.x e. ~H 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x))))
15		df-leop 11415	. 2 |- <_op = {<.t, u>. | ((u -op t) e. HrmOp /\ A.x e. ~H 0 <_ (((u -op t)` x) .ih x))}
16	7, 14, 15	brabg 3568	1 |- ((T e. A /\ U e. B) -> (T <_op U <-> ((U -op T) e. HrmOp /\ A.x e. ~H 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  0cc0 6386   <_ cle 6448  ~Hchil 10420   .ih csp 10425   -op chod 10441  HrmOpcho 10451   <_op cleo 10459

This theorem is referenced by:  leop 11694  leoprf2 11698

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886  df-leop 11415

Copyright terms: Public domain