HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leop2 Structured version   Unicode version

Theorem leop2 27244
Description: Ordering relation for operators. Definition of operator ordering in [Young] p. 141. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leop2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  ->  ( T  <_op  U  <->  A. x  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  x )  <_  (
( U `  x
)  .ih  x )
) )
Distinct variable groups:    x, T    x, U

Proof of Theorem leop2
StepHypRef Expression
1 leop 27243 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  ->  ( T  <_op  U  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  (
( ( U  -op  T ) `  x ) 
.ih  x ) ) )
2 hmopf 26994 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
3 hmopf 26994 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  HrmOp  ->  U : ~H
--> ~H )
42, 3anim12i 564 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  ->  ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )
)
5 hodval 26862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( U  -op  T ) `  x )  =  ( ( U `
 x )  -h  ( T `  x
) ) )
653com12 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( U  -op  T ) `  x )  =  ( ( U `
 x )  -h  ( T `  x
) ) )
763expa 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( U  -op  T
) `  x )  =  ( ( U `
 x )  -h  ( T `  x
) ) )
87oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( U  -op  T ) `  x ) 
.ih  x )  =  ( ( ( U `
 x )  -h  ( T `  x
) )  .ih  x
) )
9 ffvelrn 6005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( U `  x
)  e.  ~H )
109adantll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( U `  x )  e.  ~H )
11 ffvelrn 6005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
1211adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
13 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
14 his2sub 26210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U `  x
)  e.  ~H  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( U `  x )  -h  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( ( U `  x ) 
.ih  x )  -  ( ( T `  x )  .ih  x
) ) )
1510, 12, 13, 14syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( U `  x )  -h  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( ( U `  x ) 
.ih  x )  -  ( ( T `  x )  .ih  x
) ) )
168, 15eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( U  -op  T ) `  x ) 
.ih  x )  =  ( ( ( U `
 x )  .ih  x )  -  (
( T `  x
)  .ih  x )
) )
174, 16sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( U  -op  T ) `  x )  .ih  x
)  =  ( ( ( U `  x
)  .ih  x )  -  ( ( T `
 x )  .ih  x ) ) )
1817breq2d 4451 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 0  <_  (
( ( U  -op  T ) `  x ) 
.ih  x )  <->  0  <_  ( ( ( U `  x )  .ih  x
)  -  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) ) )
19 hmopre 27043 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( U `  x
)  .ih  x )  e.  RR )
2019adantll 711 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( U `  x )  .ih  x
)  e.  RR )
21 hmopre 27043 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  x )  e.  RR )
2221adantlr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  x
)  e.  RR )
2320, 22subge0d 10138 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 0  <_  (
( ( U `  x )  .ih  x
)  -  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) )  <-> 
( ( T `  x )  .ih  x
)  <_  ( ( U `  x )  .ih  x ) ) )
2418, 23bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 0  <_  (
( ( U  -op  T ) `  x ) 
.ih  x )  <->  ( ( T `  x )  .ih  x )  <_  (
( U `  x
)  .ih  x )
) )
2524ralbidva 2890 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  ->  ( A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( U  -op  T ) `
 x )  .ih  x )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  x )  <_  (
( U `  x
)  .ih  x )
) )
261, 25bitrd 253 1  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  ->  ( T  <_op  U  <->  A. x  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  x )  <_  (
( U `  x
)  .ih  x )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   class class class wbr 4439   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481    <_ cle 9618    - cmin 9796   ~Hchil 26037    .ih csp 26040    -h cmv 26043    -op chod 26058   HrmOpcho 26068    <_op cleo 26076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 26117  ax-hfvadd 26118  ax-hvcom 26119  ax-hvass 26120  ax-hv0cl 26121  ax-hvaddid 26122  ax-hfvmul 26123  ax-hvmulid 26124  ax-hvmulass 26125  ax-hvdistr1 26126  ax-hvdistr2 26127  ax-hvmul0 26128  ax-hfi 26197  ax-his1 26200  ax-his2 26201  ax-his3 26202  ax-his4 26203  ax-hcompl 26320
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-lm 19900  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cfil 21863  df-cau 21864  df-cmet 21865  df-grpo 25394  df-gid 25395  df-ginv 25396  df-gdiv 25397  df-ablo 25485  df-subgo 25505  df-vc 25640  df-nv 25686  df-va 25689  df-ba 25690  df-sm 25691  df-0v 25692  df-vs 25693  df-nmcv 25694  df-ims 25695  df-dip 25812  df-ssp 25836  df-ph 25929  df-cbn 25980  df-hnorm 26086  df-hba 26087  df-hvsub 26089  df-hlim 26090  df-hcau 26091  df-sh 26325  df-ch 26340  df-oc 26371  df-ch0 26372  df-shs 26427  df-pjh 26514  df-hosum 26850  df-homul 26851  df-hodif 26852  df-h0op 26868  df-hmop 26964  df-leop 26972
This theorem is referenced by:  leop3  27245  idleop  27251  leoptri  27256  leoptr  27257  leopnmid  27258
  Copyright terms: Public domain W3C validator