MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lennncl Structured version   Unicode version

Theorem lennncl 12615
Description: The length of a nonempty word is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
lennncl  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )

Proof of Theorem lennncl
StepHypRef Expression
1 wrdfin 12613 . . 3  |-  ( W  e. Word  S  ->  W  e.  Fin )
2 hashnncl 12484 . . 3  |-  ( W  e.  Fin  ->  (
( # `  W )  e.  NN  <->  W  =/=  (/) ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( W  e. Word  S  ->  (
( # `  W )  e.  NN  <->  W  =/=  (/) ) )
43biimpar 483 1  |-  ( ( W  e. Word  S  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842    =/= wne 2598   (/)c0 3738   ` cfv 5569   Fincfn 7554   NNcn 10576   #chash 12452  Word cword 12583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591
This theorem is referenced by:  lswcl  12642  ccatval1lsw  12656  lswccatn0lsw  12661  swrdtrcfv  12722  swrdccatwrd  12749  wrdeqcats1OLD  12755  wrdeqs1cat  12756  cshw0  12821  cshwmodn  12822  cshwn  12824  cshwlen  12826  cshwidx0mod  12831  scshwfzeqfzo  12850  lswco  12860  gsumwsubmcl  16330  gsumccat  16333  efgsf  17071  efgsrel  17076  efgs1b  17078  efgredlema  17082  efgredlemd  17086  efgrelexlemb  17092  cyclnspth  25048  signsvtn0  29033  signstfvneq0  29035  signsvfn  29045  signsvtp  29046  signsvtn  29047  signsvfpn  29048  signsvfnn  29049  signlem0  29050  pfxtrcfv  37888  pfxsuff1eqwrdeq  37894  pfx1  37898  cshword2  37924
  Copyright terms: Public domain W3C validator