MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenltd Structured version   Unicode version

Theorem lenltd 9730
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
lenltd  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )

Proof of Theorem lenltd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 lenlt 9663 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9491    < clt 9628    <_ cle 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-cnv 5007  df-xr 9632  df-le 9634
This theorem is referenced by:  ltnsymd  9733  dedekind  9743  leadd1  10020  leord1  10080  prodge0  10389  lediv1  10407  lemuldiv  10424  lerec  10427  le2msq  10445  lbinfm  10496  suprub  10504  suprleub  10507  supmul1  10508  infmrlb  10524  suprfinzcl  10975  zsupss  11171  suprzub  11173  rpnnen1lem5  11212  fzdisj  11712  uzdisj  11751  nn0disj  11788  fzouzdisj  11829  fleqceilz  11949  seqf1olem1  12114  seqf1olem2  12115  leexp2  12188  hashf1  12472  seqcoll  12478  seqcoll2  12479  ccatsymb  12565  swrdnd  12620  swrdvalodm2  12627  swrdccatin2  12675  rlimcld2  13364  rlimno1  13439  isercoll  13453  ruclem3  13827  bitsfzolem  13943  bitsmod  13945  sadcaddlem  13966  smupvallem  13992  pcfac  14277  4sqlem11  14332  ramcl2lem  14386  sylow1lem1  16424  fvmptnn04if  19145  chfacfisf  19150  chfacfisfcpmat  19151  recld2  21082  reconnlem2  21095  nmoleub2lem3  21361  ivthlem2  21627  ivthlem3  21628  ovolicopnf  21698  ioombl1lem4  21734  ioorcl2  21744  itg1ge0a  21881  mbfi1fseqlem4  21888  itg2monolem1  21920  itg2cnlem1  21931  dvferm1lem  22148  dvferm2lem  22150  mdegmullem  22241  dgrub  22394  dgrlb  22396  dgreq0  22424  quotcan  22467  aaliou3lem9  22508  radcnvle  22577  abelthlem2  22589  logdivle  22763  cxple  22832  lgsval2lem  23337  pntlem3  23550  padicabv  23571  ssnnssfz  27293  esumpcvgval  27752  eulerpartlems  27967  dstfrvunirn  28081  ballotlemodife  28104  erdszelem7  28309  erdszelem8  28310  supaddc  29646  mblfinlem2  29657  areacirc  29717  rencldnfilem  30386  irrapxlem1  30390  monotoddzzfi  30510  lcmgcdlem  30840  lensymd  31075  leimnltd  31077  nltled  31082  icccncfext  31254  dvbdfbdioolem2  31287  stoweidlem14  31342  stoweidlem52  31380  fourierdlem10  31445  fourierdlem12  31447  fourierdlem20  31455  fourierdlem24  31459  fourierdlem40  31475  fourierdlem42  31477  fourierdlem50  31485  fourierdlem54  31489  fourierdlem63  31498  fourierdlem65  31500  fourierdlem74  31509  fourierdlem75  31510  fourierdlem78  31513  fourierdlem79  31514  fourierdlem103  31538  sqwvfoura  31557  sqwvfourb  31558  fourierswlem  31559  fouriersw  31560  ssnn0ssfz  32034
  Copyright terms: Public domain W3C validator