MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leneltd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem leneltd 9814
Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
leltned.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
leneltd.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
Assertion
Ref Expression
leneltd  |-  ( ph  ->  A  <  B )

Proof of Theorem leneltd
StepHypRef Expression
1 leneltd.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 leltned.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
52, 3, 4leltned 9813 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )
61, 5mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1897    =/= wne 2632   class class class wbr 4415   RRcr 9563    < clt 9700    <_ cle 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706
This theorem is referenced by:  fprodle  14098  flltnz  37553  fzdifsuc2  37567  xralrple2  37614  eliccelioc  37659  limcresiooub  37760  limcresioolb  37761  icccncfext  37802  cncfiooiccre  37810  dvbdfbdioolem2  37838  dvnxpaek  37854  volioc  37886  itgioocnicc  37891  iblcncfioo  37892  dirkercncflem1  38002  fourierdlem24  38030  fourierdlem25  38031  fourierdlem32  38039  fourierdlem33  38040  fourierdlem41  38048  fourierdlem42  38049  fourierdlem42OLD  38050  fourierdlem46  38053  fourierdlem48  38055  fourierdlem49  38056  fourierdlem51  38058  fourierdlem64  38071  fourierdlem65  38072  fourierdlem73  38080  fourierdlem76  38083  fourierdlem79  38086  fourierdlem81  38088  fourierdlem82  38089  fourierdlem89  38096  fourierdlem91  38098  fourierdlem102  38109  fourierdlem114  38121  fourierswlem  38131  fouriersw  38132  etransclem15  38151  etransclem24  38160  etransclem25  38161  etransclem35  38171  iundjiun  38335  hoidmvlelem2  38455
  Copyright terms: Public domain W3C validator