MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenegcon2 Structured version   Unicode version

Theorem lenegcon2 10108
Description: Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
lenegcon2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  -u B  <->  B  <_  -u A ) )

Proof of Theorem lenegcon2
StepHypRef Expression
1 renegcl 9926 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
2 leneg 10106 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  ( A  <_  -u B  <->  -u -u B  <_  -u A
) )
31, 2sylan2 476 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  -u B  <->  -u -u B  <_  -u A
) )
4 recn 9618 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
54negnegd 9966 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -u -u B  =  B )
65adantl 467 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u -u B  =  B )
76breq1d 4427 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u -u B  <_ 
-u A  <->  B  <_  -u A ) )
83, 7bitrd 256 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  -u B  <->  B  <_  -u A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417   RRcr 9527    <_ cle 9665   -ucneg 9850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852
This theorem is referenced by:  lenegcon2d  10185  infmrclOLD  10582  dfceil2  12054  ceige  12058
  Copyright terms: Public domain W3C validator