MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenegcon1 Structured version   Unicode version

Theorem lenegcon1 10097
Description: Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
lenegcon1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B 
<-> 
-u B  <_  A
) )

Proof of Theorem lenegcon1
StepHypRef Expression
1 renegcl 9918 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 leneg 10096 . . 3  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B  <->  -u B  <_  -u -u A
) )
31, 2sylan 469 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B 
<-> 
-u B  <_  -u -u A
) )
4 recn 9612 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
54negnegd 9958 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -u -u A  =  A )
65breq2d 4407 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u B  <_  -u -u A  <->  -u B  <_  A )
)
76adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u B  <_  -u -u A  <->  -u B  <_  A
) )
83, 7bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B 
<-> 
-u B  <_  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   RRcr 9521    <_ cle 9659   -ucneg 9842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844
This theorem is referenced by:  lenegcon1i  10145  lenegcon1d  10174  ublbneg  11211  zmax  11224  absle  13297  lenegsq  13302  abs2difabs  13316  o1lo1  13509  infcvgaux2i  13821  sinbnd  14124  cosbnd  14125  xrhmeo  21738  logcj  23285  asinneg  23542
  Copyright terms: Public domain W3C validator