MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lencl Structured version   Unicode version

Theorem lencl 12247
Description: The length of a word is a nonnegative integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
lencl  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem lencl
StepHypRef Expression
1 wrdfin 12246 . 2  |-  ( W  e. Word  S  ->  W  e.  Fin )
2 hashcl 12124 . 2  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   ` cfv 5416   Fincfn 7308   NN0cn0 10577   #chash 12101  Word cword 12219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-hash 12102  df-word 12227
This theorem is referenced by:  wrdsymb0  12257  wrdlenge1n0  12258  wrdlenge2n0  12259  wrdsymb1  12260  eqwrd  12263  lsw0  12265  lswcl  12268  ccatlen  12273  ccatval3  12276  elfzelfzccat  12277  ccatsymb  12279  ccatfv0  12280  ccatval1lsw  12281  ccatlid  12282  ccatrid  12283  ccatass  12284  lswccatn0lsw  12285  lswccat0lsw  12286  wrdlenccats1lenm1  12303  ccats1val2  12305  ccatws1lenrev  12307  ccatws1n0  12308  swrdid  12319  swrdn0  12322  swrdnd  12324  swrdrlen  12326  addlenrevswrd  12328  addlenswrd  12329  swrdvalodm2  12331  swrdvalodm  12332  swrdtrcfv0  12336  swrdeq  12338  swrdsymbeq  12339  swrdspsleq  12340  wrdeqswrdlsw  12341  swrdtrcfvl  12342  swrdlsw  12344  2swrdeqwrdeq  12345  2swrd1eqwrdeq  12346  swrdccat1  12349  swrdccat2  12350  wrdcctswrd  12357  ccats1swrdeq  12361  ccatopth2  12363  cats1un  12368  wrdind  12369  wrd2ind  12370  swrdccatin1  12372  swrdccatin2  12376  swrdccatin12lem2  12378  swrdccatin12lem3  12379  swrdccatin12  12380  swrdccat3  12381  swrdccat  12382  swrdccat3a  12383  swrdccat3blem  12384  swrdccat3b  12385  swrdccatid  12386  ccats1swrdeqbi  12387  spllen  12394  splval2  12397  revcl  12399  revlen  12400  revccat  12404  revrev  12405  repswsymball  12415  repswsymballbi  12416  cshwsublen  12431  cshwn  12432  cshwlen  12434  cshwidxmod  12438  2cshwid  12446  3cshw  12450  cshweqdif2  12451  cshw1  12454  revco  12460  ccatco  12461  cats1fvn  12483  cats1fv  12484  swrd2lsw  12550  2swrd2eqwrdeq  12551  cshwshashnsame  14128  gsmsymgrfixlem1  15930  gsmsymgreqlem2  15934  pmtrdifwrdellem2  15986  psgnuni  16003  psgnran  16019  efginvrel2  16222  efgsdmi  16227  efgsval2  16228  efgsp1  16232  efgsfo  16234  efgredlemf  16236  efgredlemg  16237  efgredleme  16238  efgredlemd  16239  efgredlemc  16240  efgredlem  16242  efgred  16243  efgcpbllemb  16250  frgpuplem  16267  frgpnabllem1  16349  pgpfaclem1  16580  psgnghm  18008  wlkbprop  23431  wlkonwlk  23432  pthdepisspth  23471  spthonepeq  23484  redwlklem  23502  nvnencycllem  23527  sseqfv1  26770  sseqfn  26771  sseqmw  26772  sseqf  26773  sseqfv2  26775  sseqp1  26776  signstlen  26966  signstfvn  26968  signstfvp  26970  signstfvneq0  26971  signstfvc  26973  signstfveq0a  26975  signstfveq0  26976  signshlen  26989  signshnz  26990  lswn0  30255  ccats1swrdeqrex  30256  lswccats1fst  30259  ccatw2s1len  30265  ccatw2s1p1  30266  ccatw2s1p2  30267  ccat2s1fvw  30268  wlkn0  30276  wlklenpislenfp1  30280  wlklenfislenpm1  30281  2wlkeq  30285  wlkv0  30288  wlkiswwlk1  30321  wlkiswwlk2lem1  30322  wlkiswwlk2lem3  30324  wlkiswwlk2lem4  30325  wlklniswwlkn2  30331  wwlknextbi  30354  wwlkm1edg  30364  clwwlkgt0  30431  clwwlknprop  30432  clwwlkn0  30434  clwlkisclwwlklem2a1  30438  clwlkisclwwlklem2a2  30439  clwlkisclwwlklem2a4  30443  clwlkisclwwlklem2a  30444  clwlkisclwwlklem1  30446  clwlkisclwwlklem0  30447  clwlkisclwwlk  30448  clwlkisclwwlk2  30449  clwwisshclwwlem  30467  erclwwlkref  30480  scshwfzeqfzo  30489  wlkp1lenfislenp  30509  clwlkfclwwlk2wrd  30510  clwlkfclwwlk1hash  30512  clwlkfclwwlk  30514  clwlkf1clwwlklem1  30516  clwlkf1clwwlklem3  30518  wwlkextproplem2  30558  wwlkextproplem3  30559  rusgranumwlks  30571  numclwwlkovf2ex  30676  numclwlk2lem2f1o  30695
  Copyright terms: Public domain W3C validator