MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lencl Structured version   Unicode version

Theorem lencl 12515
Description: The length of a word is a nonnegative integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
lencl  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem lencl
StepHypRef Expression
1 wrdfin 12514 . 2  |-  ( W  e. Word  S  ->  W  e.  Fin )
2 hashcl 12383 . 2  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   ` cfv 5579   Fincfn 7506   NN0cn0 10784   #chash 12360  Word cword 12487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495
This theorem is referenced by:  wrdsymb0  12527  wrdlenge1n0  12528  wrdlenge2n0  12529  wrdsymb1  12530  eqwrd  12534  lsw0  12538  lswcl  12541  ccatlen  12546  ccatval3  12549  elfzelfzccat  12550  ccatsymb  12552  ccatfv0  12553  ccatval1lsw  12554  ccatlid  12555  ccatrid  12556  ccatass  12557  lswccatn0lsw  12558  lswccat0lsw  12559  wrdlenccats1lenm1  12577  ccatw2s1len  12579  ccats1val2  12581  ccatws1lenrev  12585  ccatws1n0  12586  lswccats1fst  12589  ccatw2s1p1  12590  ccatw2s1p2  12591  ccat2s1fvw  12592  swrdid  12602  swrdn0  12605  swrdnd  12607  swrdrlen  12609  addlenrevswrd  12611  addlenswrd  12612  swrdvalodm2  12614  swrdvalodm  12615  swrdtrcfv0  12619  swrdeq  12621  swrdsymbeq  12622  swrdspsleq  12623  wrdeqswrdlsw  12624  swrdtrcfvl  12625  swrdlsw  12627  2swrdeqwrdeq  12628  2swrd1eqwrdeq  12629  swrdccat1  12632  swrdccat2  12633  wrdcctswrd  12640  ccats1swrdeq  12644  ccatopth2  12646  cats1un  12651  wrdind  12652  wrd2ind  12653  ccats1swrdeqrex  12654  swrdccatin1  12658  swrdccatin2  12662  swrdccatin12lem2  12664  swrdccatin12lem3  12665  swrdccatin12  12666  swrdccat3  12667  swrdccat  12668  swrdccat3a  12669  swrdccat3blem  12670  swrdccat3b  12671  swrdccatid  12672  ccats1swrdeqbi  12673  spllen  12680  splval2  12683  revcl  12685  revlen  12686  revccat  12690  revrev  12691  repswsymball  12701  repswsymballbi  12702  cshwsublen  12717  cshwn  12718  cshwlen  12720  cshwidxmod  12724  2cshwid  12732  3cshw  12736  cshweqdif2  12737  cshw1  12740  scshwfzeqfzo  12744  revco  12750  ccatco  12751  cats1fvn  12773  cats1fv  12774  swrd2lsw  12840  2swrd2eqwrdeq  12841  ccat2s1fvwALT  12843  cshwshashnsame  14435  gsmsymgrfixlem1  16240  gsmsymgreqlem2  16244  pmtrdifwrdellem2  16296  psgnuni  16313  psgnran  16329  efginvrel2  16534  efgsdmi  16539  efgsval2  16540  efgsp1  16544  efgsfo  16546  efgredlemf  16548  efgredlemg  16549  efgredleme  16550  efgredlemd  16551  efgredlemc  16552  efgredlem  16554  efgred  16555  efgcpbllemb  16562  frgpuplem  16579  frgpnabllem1  16661  pgpfaclem1  16915  psgnghm  18376  wlkbprop  24185  wlkn0  24189  wlklenvm1  24194  wlkonwlk  24199  pthdepisspth  24238  spthonepeq  24251  redwlklem  24269  nvnencycllem  24305  wlkiswwlk1  24352  wlkiswwlk2lem1  24353  wlkiswwlk2lem3  24355  wlkiswwlk2lem4  24356  wlklniswwlkn2  24362  2wlkeq  24369  wwlknextbi  24387  wwlkm1edg  24397  wwlkextproplem2  24404  wwlkextproplem3  24405  wlkv0  24422  clwwlkgt0  24433  clwwlknprop  24434  clwwlkn0  24436  clwlkisclwwlklem2a1  24441  clwlkisclwwlklem2a2  24442  clwlkisclwwlklem2a4  24446  clwlkisclwwlklem2a  24447  clwlkisclwwlklem1  24449  clwlkisclwwlklem0  24450  clwlkisclwwlk  24451  clwlkisclwwlk2  24452  clwwisshclwwlem  24468  erclwwlkref  24475  wlklenvp1  24500  wlklenvclwlk  24501  clwlkfclwwlk2wrd  24502  clwlkfclwwlk1hash  24504  clwlkfclwwlk  24506  clwlkf1clwwlklem1  24508  clwlkf1clwwlklem3  24510  rusgranumwlks  24618  numclwwlkovf2ex  24749  numclwlk2lem2f1o  24768  sseqfv1  27954  sseqfn  27955  sseqmw  27956  sseqf  27957  sseqfv2  27959  sseqp1  27960  signstlen  28150  signstfvn  28152  signstfvp  28154  signstfvneq0  28155  signstfvc  28157  signstfveq0a  28159  signstfveq0  28160  signshlen  28173  signshnz  28174  lswn0  31771
  Copyright terms: Public domain W3C validator