MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lencl Structured version   Unicode version

Theorem lencl 12680
Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
lencl  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem lencl
StepHypRef Expression
1 wrdfin 12679 . 2  |-  ( W  e. Word  S  ->  W  e.  Fin )
2 hashcl 12538 . 2  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
31, 2syl 17 1  |-  ( W  e. Word  S  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1868   ` cfv 5598   Fincfn 7574   NN0cn0 10870   #chash 12515  Word cword 12649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-hash 12516  df-word 12657
This theorem is referenced by:  wrdsymb0  12694  wrdlenge1n0  12695  wrdlenge2n0  12696  wrdsymb1  12697  eqwrd  12701  ccatcl  12713  ccatlen  12714  ccatval1  12715  ccatval3  12717  elfzelfzccat  12718  ccatsymb  12720  ccatfv0  12721  ccatlid  12723  ccatrid  12724  ccatass  12725  ccatrn  12726  lswccatn0lsw  12727  wrdlenccats1lenm1  12747  ccatw2s1len  12749  ccats1val2  12751  ccatws1lenrev  12755  ccatws1n0  12756  lswccats1fst  12759  ccatw2s1p1  12760  ccat2s1fvw  12762  swrdid  12775  swrdn0  12777  swrdnd  12779  swrdnd2  12780  swrdrlen  12782  addlenrevswrd  12784  addlenswrd  12785  swrdtrcfv0  12789  swrdeq  12791  swrdlen2  12792  swrdfv2  12793  swrdtrcfvl  12797  swrdlsw  12799  2swrdeqwrdeq  12800  2swrd1eqwrdeq  12801  swrdccat1  12804  swrdccat2  12805  wrdcctswrd  12812  ccats1swrdeq  12816  ccatopth2  12818  wrdeqcats1OLD  12821  cats1un  12823  wrdind  12824  wrd2ind  12825  ccats1swrdeqrex  12826  swrdccatin1  12830  swrdccatin2  12834  swrdccatin12lem2  12836  swrdccatin12lem3  12837  swrdccatin12  12838  swrdccat3  12839  swrdccat  12840  swrdccat3a  12841  swrdccat3blem  12842  swrdccat3b  12843  swrdccatid  12844  ccats1swrdeqbi  12845  spllen  12852  splval2  12855  revcl  12857  revlen  12858  revccat  12862  revrev  12863  repswsymball  12873  repswsymballbi  12874  cshwsublen  12889  cshwn  12890  cshwlen  12892  cshwidxmod  12896  2cshwid  12904  3cshw  12908  cshweqdif2  12909  cshw1  12912  scshwfzeqfzo  12916  revco  12922  ccatco  12923  cats1fvn  12945  cats1fv  12946  swrd2lsw  13016  2swrd2eqwrdeq  13017  ccat2s1fvwALT  13019  cshwshashnsame  15062  gsmsymgrfixlem1  17056  gsmsymgreqlem2  17060  pmtrdifwrdellem2  17111  psgnuni  17128  psgnran  17144  efginvrel2  17365  efgsdmi  17370  efgsval2  17371  efgsp1  17375  efgsfo  17377  efgredlemf  17379  efgredlemg  17380  efgredleme  17381  efgredlemd  17382  efgredlemc  17383  efgredlem  17385  efgred  17386  efgcpbllemb  17393  frgpuplem  17410  frgpnabllem1  17497  pgpfaclem1  17702  psgnghm  19135  wlkbprop  25237  wlkn0  25241  wlklenvm1  25246  wlkonwlk  25251  pthdepisspth  25290  spthonepeq  25303  redwlklem  25321  nvnencycllem  25357  wlkiswwlk1  25404  wlkiswwlk2lem1  25405  wlkiswwlk2lem3  25407  wlkiswwlk2lem4  25408  wlklniswwlkn2  25414  2wlkeq  25421  wwlknextbi  25439  wwlkm1edg  25449  wwlkextproplem2  25456  wwlkextproplem3  25457  wlkv0  25474  clwwlkgt0  25485  clwwlknprop  25486  clwwlkn0  25488  clwlkisclwwlklem2a1  25493  clwlkisclwwlklem2a2  25494  clwlkisclwwlklem2a4  25498  clwlkisclwwlklem2a  25499  clwlkisclwwlklem1  25501  clwlkisclwwlklem0  25502  clwlkisclwwlk  25503  clwlkisclwwlk2  25504  clwwisshclwwlem  25520  erclwwlkref  25527  wlklenvp1  25552  wlklenvclwlk  25553  clwlkfclwwlk2wrd  25554  clwlkfclwwlk1hash  25556  clwlkfclwwlk  25558  clwlkf1clwwlklem1  25560  clwlkf1clwwlklem3  25562  rusgranumwlks  25670  numclwwlkovf2ex  25800  numclwlk2lem2f1o  25819  sseqfv1  29218  sseqfn  29219  sseqmw  29220  sseqf  29221  sseqfv2  29223  sseqp1  29224  signstlen  29452  signstfvn  29454  signstfvp  29456  signstfvneq0  29457  signstfvc  29459  signstfveq0a  29461  signstfveq0  29462  signshlen  29475  signshnz  29476  elmrsubrn  30154  lswn0  38632  pfxid  38645  addlenrevpfx  38650  addlenpfx  38651  pfxtrcfv0  38655  pfxeq  38657  pfxtrcfvl  38658  pfxsuffeqwrdeq  38659  pfxccat1  38663  pfx2  38665  pfxcctswrd  38670  ccats1pfxeq  38674  ccats1pfxeqrex  38675  pfxccatin12lem2  38677  pfxccatin12  38678  pfxccat3  38679  pfxccatpfx2  38681  pfxccat3a  38682  pfxccatid  38683  ccats1pfxeqbi  38684
  Copyright terms: Public domain W3C validator