MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemuldivd Structured version   Unicode version

Theorem lemuldivd 11182
Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltmul1d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltmul1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
lemuldivd  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  <_  B  <->  A  <_  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem lemuldivd
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltmul1d.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltmul1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
43rpregt0d 11143 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
5 lemuldiv 10321 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( A  x.  C )  <_  B  <->  A  <_  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1219 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  <_  B  <->  A  <_  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4399  (class class class)co 6199   RRcr 9391   0cc0 9392    x. cmul 9397    < clt 9528    <_ cle 9529    / cdiv 10103   RR+crp 11101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-rp 11102
This theorem is referenced by:  leexp2a  12035  bitsfzolem  13747  bitsfzo  13748  bitscmp  13751  gexexlem  16454  ovolsca  21129  abelthlem7  22035  cxpaddle  22322  divsqrsumo1  22509  fsumharmonic  22537  basellem8  22557  fsumvma2  22685  chpchtsum  22690  chpub  22691  logexprlim  22696  efexple  22752  chpchtlim  22860  rplogsumlem2  22866  dchrisum0lem1a  22867  dchrmusum2  22875  dchrvmasumlem2  22879  dchrisum0lem1  22897  mulog2sumlem2  22916  vmalogdivsum2  22919  2vmadivsumlem  22921  selberglem2  22927  chpdifbndlem1  22934  selberg3lem1  22938  selberg4lem1  22941  pntrlog2bndlem5  22962  pntlemh  22980  pntlemn  22981  pntlemr  22983  pntlemj  22984  ttgcontlem1  23282  lgamgulmlem5  27162  itg2addnclem2  28591
  Copyright terms: Public domain W3C validator