Theorem lemul2ad 10481

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	|- ( ph -> A e. RR )
divgt0d.2	|- ( ph -> B e. RR )
lemul1ad.3	|- ( ph -> C e. RR )
lemul1ad.4	|- ( ph -> 0 <_ C )
lemul1ad.5	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	|- ( ph -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		divgt0d.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lemul1ad.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
4		lemul1ad.4	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ C )
5	3, 4	jca 530	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
6		lemul1ad.5	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
7		lemul2a 10393	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1229	1 |- ( ph -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   x. cmul 9486   <_ cle 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799

This theorem is referenced by:  flmulnn0  11942  leexp2r  12205  efcllem  13895  2expltfac  14661  nlmvscnlem2  21360  ipcnlem2  21850  dveflem  22546  dvfsumlem2  22594  plyeq0lem  22773  radcnvlem1  22974  pserulm  22983  abelthlem7  22999  abscxpbnd  23295  ftalem1  23544  ftalem5  23548  chpub  23693  vmadivsum  23865  dchrisum0lem1a  23869  dchrisumlem2  23873  dchrisum0re  23896  vmalogdivsum2  23921  2vmadivsumlem  23923  selbergb  23932  selberg2b  23935  chpdifbndlem1  23936  selberg3lem1  23940  selberg4lem1  23943  pntrlog2bndlem1  23960  pntrlog2bndlem2  23961  pntrlog2bndlem4  23963  pntrlog2bndlem5  23964  pntrlog2bndlem6  23966  ostth2lem2  24017  axpaschlem  24445  nexple  28239  lgamgulmlem3  28837  rescon  28955  iblmulc2nc  30320  fmul01  31813  fmul01lt1lem1  31817  fprodle  31843  sumnnodd  31875  ioodvbdlimc1lem2  31968  ioodvbdlimc2lem  31970  stoweidlem1  32022  wallispi  32091  wallispi2lem1  32092  wallispi2  32094  stirlinglem12  32106  fourierdlem30  32158  fourierdlem39  32167  fourierdlem47  32175  fourierdlem68  32196  fourierdlem73  32201  fourierdlem87  32215  fouriersw  32253  etransclem23  32279