Theorem lemul2ad 10574

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	|- ( ph -> A e. RR )
divgt0d.2	|- ( ph -> B e. RR )
lemul1ad.3	|- ( ph -> C e. RR )
lemul1ad.4	|- ( ph -> 0 <_ C )
lemul1ad.5	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	|- ( ph -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		divgt0d.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lemul1ad.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
4		lemul1ad.4	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ C )
5	3, 4	jca 539	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
6		lemul1ad.5	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
7		lemul2a 10487	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1279	1 |- ( ph -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   e. wcel 1897   class class class wbr 4415  (class class class)co 6314   RRcr 9563   0cc0 9564   x. cmul 9569   <_ cle 9701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888

This theorem is referenced by:  flmulnn0  12091  leexp2r  12361  fprodle  14098  efcllem  14180  2expltfac  15111  nlmvscnlem2  21736  ipcnlem2  22263  dveflem  22979  dvfsumlem2  23027  plyeq0lem  23212  radcnvlem1  23416  pserulm  23425  abelthlem7  23441  abscxpbnd  23741  lgamgulmlem3  24004  ftalem1  24045  ftalem5  24049  ftalem5OLD  24051  chpub  24196  vmadivsum  24368  dchrisum0lem1a  24372  dchrisumlem2  24376  dchrisum0re  24399  vmalogdivsum2  24424  2vmadivsumlem  24426  selbergb  24435  selberg2b  24438  chpdifbndlem1  24439  selberg3lem1  24443  selberg4lem1  24446  pntrlog2bndlem1  24463  pntrlog2bndlem2  24464  pntrlog2bndlem4  24466  pntrlog2bndlem5  24467  pntrlog2bndlem6  24469  ostth2lem2  24520  axpaschlem  25018  nexple  28879  rescon  30017  iblmulc2nc  32051  fmul01  37695  fmul01lt1lem1  37699  sumnnodd  37747  ioodvbdlimc1lem2  37841  ioodvbdlimc1lem2OLD  37843  ioodvbdlimc2lem  37845  ioodvbdlimc2lemOLD  37846  stoweidlem1  37898  wallispi  37969  wallispi2lem1  37970  wallispi2  37972  stirlinglem12  37984  fourierdlem30  38036  fourierdlem39  38046  fourierdlem47  38054  fourierdlem68  38075  fourierdlem73  38080  fourierdlem87  38094  fouriersw  38132  etransclem23  38159  hoidmvlelem1  38454  hoidmvlelem2  38455  hoidmvlelem4  38457