Theorem lemul2ad 10482

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	|- ( ph -> A e. RR )
divgt0d.2	|- ( ph -> B e. RR )
lemul1ad.3	|- ( ph -> C e. RR )
lemul1ad.4	|- ( ph -> 0 <_ C )
lemul1ad.5	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	|- ( ph -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		divgt0d.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lemul1ad.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
4		lemul1ad.4	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ C )
5	3, 4	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
6		lemul1ad.5	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
7		lemul2a 10393	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1231	1 |- ( ph -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   x. cmul 9493   <_ cle 9625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804

This theorem is referenced by:  flmulnn0  11923  leexp2r  12185  efcllem  13668  2expltfac  14428  nlmvscnlem2  20926  ipcnlem2  21416  dveflem  22112  dvfsumlem2  22160  plyeq0lem  22339  radcnvlem1  22539  pserulm  22548  abelthlem7  22564  abscxpbnd  22852  ftalem1  23071  ftalem5  23075  chpub  23220  vmadivsum  23392  dchrisum0lem1a  23396  dchrisumlem2  23400  dchrisum0re  23423  vmalogdivsum2  23448  2vmadivsumlem  23450  selbergb  23459  selberg2b  23462  chpdifbndlem1  23463  selberg3lem1  23467  selberg4lem1  23470  pntrlog2bndlem1  23487  pntrlog2bndlem2  23488  pntrlog2bndlem4  23490  pntrlog2bndlem5  23491  pntrlog2bndlem6  23493  ostth2lem2  23544  axpaschlem  23916  nexple  27642  lgamgulmlem3  28210  rescon  28328  iblmulc2nc  29655  fmul01  31130  fmul01lt1lem1  31134  sumnnodd  31172  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  stoweidlem1  31301  wallispi  31370  wallispi2lem1  31371  wallispi2  31373  stirlinglem12  31385  fourierdlem30  31437  fourierdlem39  31446  fourierdlem47  31454  fourierdlem68  31475  fourierdlem73  31480  fourierdlem87  31494  fouriersw  31532