Theorem lemul2ad 10278

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	|- ( ph -> A e. RR )
divgt0d.2	|- ( ph -> B e. RR )
lemul1ad.3	|- ( ph -> C e. RR )
lemul1ad.4	|- ( ph -> 0 <_ C )
lemul1ad.5	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lemul2ad	|- ( ph -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )

Proof of Theorem lemul2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		divgt0d.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lemul1ad.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
4		lemul1ad.4	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ C )
5	3, 4	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
6		lemul1ad.5	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
7		lemul2a 10189	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )
8	1, 2, 5, 6, 7	syl31anc 1221	1 |- ( ph -> ( C x. A ) <_ ( C x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287   x. cmul 9292   <_ cle 9424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603

This theorem is referenced by:  flmulnn0  11677  leexp2r  11926  efcllem  13368  2expltfac  14124  nlmvscnlem2  20271  ipcnlem2  20761  dveflem  21456  dvfsumlem2  21504  plyeq0lem  21683  radcnvlem1  21883  pserulm  21892  abelthlem7  21908  abscxpbnd  22196  ftalem1  22415  ftalem5  22419  chpub  22564  vmadivsum  22736  dchrisum0lem1a  22740  dchrisumlem2  22744  dchrisum0re  22767  vmalogdivsum2  22792  2vmadivsumlem  22794  selbergb  22803  selberg2b  22806  chpdifbndlem1  22807  selberg3lem1  22811  selberg4lem1  22814  pntrlog2bndlem1  22831  pntrlog2bndlem2  22832  pntrlog2bndlem4  22834  pntrlog2bndlem5  22835  pntrlog2bndlem6  22837  ostth2lem2  22888  axpaschlem  23191  nexple  26453  lgamgulmlem3  27022  rescon  27140  iblmulc2nc  28462  fmul01  29766  fmul01lt1lem1  29770  stoweidlem1  29801  wallispi  29870  wallispi2lem1  29871  wallispi2  29873  stirlinglem12  29885