MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul2 Structured version   Unicode version

Theorem lemul2 10396
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )

Proof of Theorem lemul2
StepHypRef Expression
1 lemul1 10395 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
2 recn 9583 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 recn 9583 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
4 mulcom 9579 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
52, 3, 4syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
653adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C )  =  ( C  x.  A ) )
7 recn 9583 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
8 mulcom 9579 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
97, 3, 8syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
1093adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
116, 10breq12d 4460 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C )  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B )
) )
12113adant3r 1225 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )
131, 12bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809
This theorem is referenced by:  lediv2  10436  lemul2i  10470  lemul2d  11297  nnlesq  12240  sqrlem6  13047  sqrlem7  13048  climcndslem2  13628  climcnds  13629  qexpz  14282  vdwlem3  14363  vdwlem9  14369  iihalf2  21260  tchcphlem1  21505  csbren  21653  trirn  21654  minveclem2  21668  itg2monolem1  21984  itg2monolem3  21986  itgabs  22068  abelthlem2  22653  pilem2  22673  logdivlti  22830  atans2  23087  leibpi  23098  log2tlbnd  23101  jensenlem2  23142  basellem1  23179  basellem2  23180  basellem3  23181  chtub  23312  logfaclbnd  23322  bpos1lem  23382  bposlem2  23385  bposlem3  23386  bposlem4  23387  bposlem5  23388  bposlem6  23389  lgsquadlem1  23454  chebbnd1lem1  23479  chebbnd1lem3  23481  dchrisumlem1  23499  dchrisum0lem3  23529  mulog2sumlem1  23544  mulog2sumlem2  23545  chpdifbndlem1  23563  pntlemj  23613  pntlemo  23617  ostth2lem2  23644  ostth2lem3  23645  ostth3  23648  minvecolem2  25564  cdj3lem1  27126  zetacvg  28308  subfaclim  28383  itgabsnc  29937  fzmul  30063  bfp  30150  irrapxlem1  30589  irrapxlem3  30591  pellfundex  30653  jm2.17b  30730  jm2.17c  30731  stoweidlem11  31538  stoweidlem26  31553  stoweidlem38  31565
  Copyright terms: Public domain W3C validator