MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul2 Structured version   Unicode version

Theorem lemul2 10447
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )

Proof of Theorem lemul2
StepHypRef Expression
1 lemul1 10446 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
2 recn 9618 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 recn 9618 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
4 mulcom 9614 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
52, 3, 4syl2an 479 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
653adant2 1024 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C )  =  ( C  x.  A ) )
7 recn 9618 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
8 mulcom 9614 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
97, 3, 8syl2an 479 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
1093adant1 1023 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
116, 10breq12d 4430 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C )  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B )
) )
12113adant3r 1261 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )
131, 12bitrd 256 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528    x. cmul 9533    < clt 9664    <_ cle 9665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852
This theorem is referenced by:  lediv2  10485  lemul2i  10519  lemul2d  11371  nnlesq  12364  sqrlem6  13279  sqrlem7  13280  climcndslem2  13875  climcnds  13876  qexpz  14806  vdwlem3  14893  vdwlem9  14899  iihalf2  21883  tchcphlem1  22128  csbren  22272  trirn  22273  minveclem2  22287  itg2monolem1  22615  itg2monolem3  22617  itgabs  22699  abelthlem2  23291  pilem2  23311  pilem2OLD  23312  logdivlti  23473  atans2  23761  leibpi  23772  log2tlbnd  23775  jensenlem2  23817  zetacvg  23844  basellem1  23909  basellem2  23910  basellem3  23911  chtub  24042  logfaclbnd  24052  bpos1lem  24112  bposlem2  24115  bposlem3  24116  bposlem4  24117  bposlem5  24118  bposlem6  24119  lgsquadlem1  24184  chebbnd1lem1  24209  chebbnd1lem3  24211  dchrisumlem1  24229  dchrisum0lem3  24259  mulog2sumlem1  24274  mulog2sumlem2  24275  chpdifbndlem1  24293  pntlemj  24343  pntlemo  24347  ostth2lem2  24374  ostth2lem3  24375  ostth3  24378  minvecolem2  26403  cdj3lem1  27963  subfaclim  29740  itgabsnc  31759  fzmul  31817  bfp  31904  irrapxlem1  35420  irrapxlem3  35422  pellfundex  35488  jm2.17b  35565  jm2.17c  35566  stoweidlem11  37488  stoweidlem26  37503  stoweidlem38  37516
  Copyright terms: Public domain W3C validator