MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul2 Structured version   Unicode version

Theorem lemul2 10203
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )

Proof of Theorem lemul2
StepHypRef Expression
1 lemul1 10202 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
2 recn 9393 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 recn 9393 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
4 mulcom 9389 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
52, 3, 4syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
653adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C )  =  ( C  x.  A ) )
7 recn 9393 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
8 mulcom 9389 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
97, 3, 8syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
1093adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
116, 10breq12d 4326 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C )  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B )
) )
12113adant3r 1215 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )
131, 12bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( C  x.  A )  <_  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303    x. cmul 9308    < clt 9439    <_ cle 9440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619
This theorem is referenced by:  lediv2  10243  lemul2i  10277  lemul2d  11088  nnlesq  11990  sqrlem6  12758  sqrlem7  12759  climcndslem2  13334  climcnds  13335  qexpz  13984  vdwlem3  14065  vdwlem9  14071  iihalf2  20527  tchcphlem1  20772  csbren  20920  trirn  20921  minveclem2  20935  itg2monolem1  21250  itg2monolem3  21252  itgabs  21334  abelthlem2  21919  pilem2  21939  logdivlti  22091  atans2  22348  leibpi  22359  log2tlbnd  22362  jensenlem2  22403  basellem1  22440  basellem2  22441  basellem3  22442  chtub  22573  logfaclbnd  22583  bpos1lem  22643  bposlem2  22646  bposlem3  22647  bposlem4  22648  bposlem5  22649  bposlem6  22650  lgsquadlem1  22715  chebbnd1lem1  22740  chebbnd1lem3  22742  dchrisumlem1  22760  dchrisum0lem3  22790  mulog2sumlem1  22805  mulog2sumlem2  22806  chpdifbndlem1  22824  pntlemj  22874  pntlemo  22878  ostth2lem2  22905  ostth2lem3  22906  ostth3  22909  minvecolem2  24298  cdj3lem1  25860  zetacvg  27023  subfaclim  27098  itgabsnc  28487  fzmul  28662  bfp  28749  irrapxlem1  29189  irrapxlem3  29191  pellfundex  29253  jm2.17b  29330  jm2.17c  29331  stoweidlem11  29832  stoweidlem26  29847  stoweidlem38  29859
  Copyright terms: Public domain W3C validator