MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul1ad Structured version   Unicode version

Theorem lemul1ad 10268
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
divgt0d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lemul1ad.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lemul1ad.4  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
lemul1ad.5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lemul1ad  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C ) )

Proof of Theorem lemul1ad
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 divgt0d.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 lemul1ad.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 lemul1ad.4 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
53, 4jca 529 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
6 lemul1ad.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
7 lemul1a 10179 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )
)
81, 2, 5, 6, 7syl31anc 1216 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    x. cmul 9283    <_ cle 9415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594
This theorem is referenced by:  bernneq  11986  o1fsum  13272  cvgrat  13339  prmreclem3  13975  nlmvscnlem2  20166  nghmcn  20224  ipcnlem2  20656  dvlip  21365  dvlipcn  21366  dvfsumlem4  21401  dvfsum2  21406  aalioulem3  21743  radcnvlem1  21821  radcnvlem2  21822  abelthlem5  21843  abelthlem7  21846  logtayllem  22047  abscxpbnd  22134  efrlim  22306  chpub  22502  2sqlem8  22654  rplogsumlem1  22676  rpvmasumlem  22679  dchrisumlem3  22683  dchrvmasumlem3  22691  mulog2sumlem2  22727  selberglem2  22738  selberg2lem  22742  pntrlog2bndlem3  22771  pntrlog2bndlem5  22773  pntlemj  22795  ostth2lem2  22826  axpaschlem  23105  smcnlem  24011  htthlem  24238  lnconi  25356  cnlnadjlem7  25396  nexple  26368  lgamgulmlem5  26933  bfplem2  28631  jm2.24nn  29211  areaquad  29501  fmul01lt1lem2  29675
  Copyright terms: Public domain W3C validator