HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lemul1aOLD 7020
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number.
Assertion
Ref Expression
lemul1aOLD |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 <_ C /\ A <_ B)) -> (A x. C) <_ (B x. C))
Proof of Theorem lemul1aOLD
StepHypRef Expression
1 0re 6603 . . . . 5 |- 0 e. RR
2 leloe 6688 . . . . 5 |- ((0 e. RR /\ C e. RR) -> (0 <_ C <-> (0 < C \/ 0 = C)))
31, 2mpan 759 . . . 4 |- (C e. RR -> (0 <_ C <-> (0 < C \/ 0 = C)))
433ad2ant3 899 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (0 <_ C <-> (0 < C \/ 0 = C)))
5 simpl1 879 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> A e. RR)
6 simpl2 880 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> B e. RR)
7 simp3 878 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> C e. RR)
8 id 73 . . . . . . . 8 |- (0 < C -> 0 < C)
97, 8anim12i 360 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (C e. RR /\ 0 < C))
10 lemul1 7011 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> (A <_ B <-> (A x. C) <_ (B x. C)))
115, 6, 9, 10syl111anc 1100 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ B <-> (A x. C) <_ (B x. C)))
1211biimpd 170 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C)))
1312ex 402 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (0 < C -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C))))
14 opreq2 4890 . . . . . . . 8 |- (0 = C -> (A x. 0) = (A x. C))
15 opreq2 4890 . . . . . . . 8 |- (0 = C -> (B x. 0) = (B x. C))
1614, 15breq12d 3351 . . . . . . 7 |- (0 = C -> ((A x. 0) <_ (B x. 0) <-> (A x. C) <_ (B x. C)))
171leidi 6790 . . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
18 mul01 6606 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (A x. 0) = 0)
19 mul01 6606 . . . . . . . . . 10 |- (B e. CC -> (B x. 0) = 0)
2018, 19breqan12d 3354 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. 0) <_ (B x. 0) <-> 0 <_ 0))
21 recn 6466 . . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> A e. CC)
22 recn 6466 . . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> B e. CC)
2320, 21, 22syl2an 503 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. 0) <_ (B x. 0) <-> 0 <_ 0))
2417, 23mpbiri 211 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. 0) <_ (B x. 0))
2516, 24syl5cbi 226 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (0 = C -> (A x. C) <_ (B x. C)))
26253adant3 896 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (0 = C -> (A x. C) <_ (B x. C)))
2726a1dd 53 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (0 = C -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C))))
2813, 27jaod 469 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((0 < C \/ 0 = C) -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C))))
294, 28sylbid 220 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (0 <_ C -> (A <_ B -> (A x. C) <_ (B x. C))))
3029imp32 390 1 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 <_ C /\ A <_ B)) -> (A x. C) <_ (B x. C))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448   < clt 6653
This theorem is referenced by:  facavg 8207  efaddlem16 8615  efaddlem20 8619  bcs2 10682  cnlnadjlem2 11638  cnlnadjlem7 11643  leopnmid 11709
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658
Copyright terms: Public domain