MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12b Structured version   Unicode version

Theorem lemul12b 10462
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12b  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )

Proof of Theorem lemul12b
StepHypRef Expression
1 lemul2a 10460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
)
21ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( C  <_  D  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( A  x.  D ) ) )
323comr 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
) )
433expb 1206 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
) )
54adantrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
) )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D
) ) )
65adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( C  <_  D  ->  ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )
) )
7 lemul1a 10459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D )
)
87ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A  x.  D
)  <_  ( B  x.  D ) ) )
983expa 1205 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A  x.  D
)  <_  ( B  x.  D ) ) )
109adantllr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A  x.  D
)  <_  ( B  x.  D ) ) )
1110adantrl 720 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D )
) )
126, 11anim12d 565 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( C  <_  D  /\  A  <_  B )  ->  (
( A  x.  C
)  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) ) ) )
1312ancomsd 455 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  (
( A  x.  C
)  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) ) ) )
14 remulcl 9624 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR )
1514adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C )  e.  RR )
1615ad2ant2r 751 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  RR )
17 remulcl 9624 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( A  x.  D
)  e.  RR )
1817ad2ant2r 751 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  ->  ( A  x.  D )  e.  RR )
1918ad2ant2rl 753 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( A  x.  D )  e.  RR )
20 remulcl 9624 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR )
2120adantrr 721 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  ->  ( B  x.  D )  e.  RR )
2221ad2ant2l 750 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( B  x.  D )  e.  RR )
23 letr 9727 . . 3  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  RR  /\  ( A  x.  D
)  e.  RR  /\  ( B  x.  D
)  e.  RR )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
2416, 19, 22, 23syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( A  x.  D )  /\  ( A  x.  D )  <_  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
2513, 24syld 45 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1868   class class class wbr 4420  (class class class)co 6301   RRcr 9538   0cc0 9539    x. cmul 9544    <_ cle 9676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863
This theorem is referenced by:  lemul12a  10463  lemul12bd  10550  lo1mul  13678  pntibndlem2  24415
  Copyright terms: Public domain W3C validator