MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12a Structured version   Unicode version

Theorem lemul12a 10293
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D )
) )

Proof of Theorem lemul12a
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) )
2 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
32ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  ->  C  e.  RR )
4 simplrr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  ->  D  e.  RR )
5 0re 9492 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
6 letr 9574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  0  <_  D
) )
75, 6mp3an1 1302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  C  /\  C  <_  D
)  ->  0  <_  D ) )
87exp4b 607 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  RR  ->  ( D  e.  RR  ->  ( 0  <_  C  ->  ( C  <_  D  ->  0  <_  D ) ) ) )
98com23 78 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  ->  (
0  <_  C  ->  ( D  e.  RR  ->  ( C  <_  D  ->  0  <_  D ) ) ) )
109imp41 593 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR )  /\  C  <_  D )  ->  0  <_  D )
1110ad2ant2l 745 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
0  <_  D )
124, 11jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)
131, 3, 12jca32 535 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) ) )
14 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )
15 lemul12b 10292 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D ) ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D
) ) )
1613, 14, 15sylc 60 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( A  <_  B  /\  C  <_  D ) )  -> 
( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  D ) )
1716ex 434 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4395  (class class class)co 6195   RRcr 9387   0cc0 9388    x. cmul 9393    <_ cle 9525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704
This theorem is referenced by:  lemulge11  10297  lediv12a  10331  lemul12ad  10381  expge1  12013  leexp1a  12034  faclbnd4lem1  12181  faclbnd6  12187  o1rlimmul  13209  mertenslem1  13457  iimulcl  20636  aaliou3lem2  21937  logfacubnd  22688  lgslem3  22765  dchrisum0flblem2  22886  pntlemr  22979  pellqrex  29363
  Copyright terms: Public domain W3C validator