Theorem lemul12a 7026

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers.

Assertion

Ref	Expression
lemul12a	|- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR)) -> ((A <_ B /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (B x. D)))

Proof of Theorem lemul12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 448	. . . 4 |- (((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR)) /\ (A <_ B /\ C <_ D)) -> ((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR))
2		simpll 448	. . . . 5 |- (((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR) -> C e. RR)
3	2	ad2antlr 441	. . . 4 |- (((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR)) /\ (A <_ B /\ C <_ D)) -> C e. RR)
4		simplrr 455	. . . . 5 |- (((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR)) /\ (A <_ B /\ C <_ D)) -> D e. RR)
5		0re 6603	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
6		letr 6695	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ C e. RR /\ D e. RR) -> ((0 <_ C /\ C <_ D) -> 0 <_ D))
7	5, 6	mp3an1 1178	. . . . . . . . 9 |- ((C e. RR /\ D e. RR) -> ((0 <_ C /\ C <_ D) -> 0 <_ D))
8	7	exp4b 410	. . . . . . . 8 |- (C e. RR -> (D e. RR -> (0 <_ C -> (C <_ D -> 0 <_ D))))
9	8	com23 36	. . . . . . 7 |- (C e. RR -> (0 <_ C -> (D e. RR -> (C <_ D -> 0 <_ D))))
10	9	imp41 395	. . . . . 6 |- ((((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR) /\ C <_ D) -> 0 <_ D)
11	10	ad2ant2l 444	. . . . 5 |- (((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR)) /\ (A <_ B /\ C <_ D)) -> 0 <_ D)
12	4, 11	jca 310	. . . 4 |- (((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR)) /\ (A <_ B /\ C <_ D)) -> (D e. RR /\ 0 <_ D))
13	1, 3, 12	jca32 312	. . 3 |- (((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR)) /\ (A <_ B /\ C <_ D)) -> (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))))
14		simpr 350	. . 3 |- (((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR)) /\ (A <_ B /\ C <_ D)) -> (A <_ B /\ C <_ D))
15		lemul12b 7024	. . 3 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ (D e. RR /\ 0 <_ D))) -> ((A <_ B /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (B x. D)))
16	13, 14, 15	sylc 83	. 2 |- (((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR)) /\ (A <_ B /\ C <_ D)) -> (A x. C) <_ (B x. D))
17	16	ex 402	1 |- ((((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ D e. RR)) -> ((A <_ B /\ C <_ D) -> (A x. C) <_ (B x. D)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448

This theorem is referenced by:  lemulge11 7030  faclbnd4lem1 8200  iimulcl 15874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain