MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemin Structured version   Unicode version

Theorem lemin 11155
Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
lemin  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )

Proof of Theorem lemin
StepHypRef Expression
1 rexr 9421 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9421 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 rexr 9421 . 2  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
4 xrlemin 11148 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1260 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   ifcif 3786   class class class wbr 4287   RRcr 9273   RR*cxr 9409    <_ cle 9411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416
This theorem is referenced by:  pc2dvds  13937  minveclem3b  20890  mbfi1fseqlem4  21171  chebbnd1lem1  22693
  Copyright terms: Public domain W3C validator