MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttric Structured version   Unicode version

Theorem lelttric 9691
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
lelttric  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <  A ) )

Proof of Theorem lelttric
StepHypRef Expression
1 pm2.1 417 . 2  |-  ( -.  B  <  A  \/  B  <  A )
2 lenlt 9663 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
32orbi1d 702 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  \/  B  <  A )  <->  ( -.  B  <  A  \/  B  < 
A ) ) )
41, 3mpbiri 233 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9491    < clt 9628    <_ cle 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-cnv 5007  df-xr 9632  df-le 9634
This theorem is referenced by:  ltlecasei  9692  fzsplit2  11710  uzsplit  11750  fzospliti  11825  fzouzsplit  11828  discr1  12270  faclbnd  12336  faclbnd4lem1  12339  faclbnd4lem4  12342  dvdslelem  13889  icccmplem2  21091  icccmp  21093  bcmono  23308  bpos1lem  23313  bposlem3  23317  bpos  23324  fzsplit3  27295  lzunuz  30333  jm2.24  30533
  Copyright terms: Public domain W3C validator